Séries de fonctions

[chamalot1234]

Bonsoir à tous,

Pour mon premier message sur ce forum je viens dans l'espoir de lever un peu le doute sur un exercice. J'ai toujours eu beaucoup de mal avec les différentes convergences, et je ne suis pas très sûr de moi sur ce coup là.... Voici le sujet de mon exercice :





Alors. Pour le premier exercice je trouve directement la convergence normale (donc qui implique toutes les autres) en majorant, pour tout n>0, le sup de 1/(n²+|x|) par 1/n² (en fait ils sont égaux). En remarquant que la somme des 1/n² vaut Pi²/6, on peut conclure que notre somme converge normalement. J'ai bon ?

Pour le second, j'ai peur d'être allé un peu vite. En effet il me semble que la convergence simple s'effectue en fixant x puis en montrant la convergence pour ce x. Donc, ayant en tête de montrer qu'il n'y a pas convergence simple, je prend x=-1.
Pour un tel x notre somme vaut la somme des (-1/n)*exp(n) qui, me semble-t-il, diverge. Donc notre somme ne converge pas simplement sur R, donc ne converge d'aucune autre façon.


Voilà mon raisonnement, mais n'étant pas très ami avec ces notions de convergence je ne suis vraiment vraiment pas sur de moi... n'est-ce pas un peu "simpliste", surtout pour la deuxième somme ? Où cela est-t-il PARFAIT ? (rêve...)


Merci d'avance pour vos réponses, je sens que ça ne sera pas la dernière fois que je viens vous visiter !

[eratos]

Alors. Pour le premier exercice je trouve directement la convergence normale (donc qui implique toutes les autres) en majorant, pour tout n>0, le sup de 1/(n²+|x|) par 1/n² (en fait ils sont égaux). En remarquant que la somme des 1/n² vaut Pi²/6, on peut conclure que notre somme converge normalement. J'ai bon ?

Salut, Pas besoin de calculer la somme, l'argument c'est Riemann (la série 1/n^a converge si a>1). Si la série converge, alors la série u_n converge normalement.

2)e^n/n ne converge pas vers 0 la série diverge grossièrement

[chamalot1234]

Merci pour votre réponse.

D'accord pour le second, j'avais peur que ça soit un peu "simpliste" comme réponse. J'entend par là que je me demandais s'il n'était pas sous-entendu de devoir trouver un intervalle de R pour lequel la série converge, au lieu de tout arrêter juste par ce que l'on a trouvé un "point singulier" ?

[deltab]

Bonjour

Pour le second, j'ai peur d'être allé un peu vite. En effet il me semble que la convergence simple s'effectue en fixant x puis en montrant la convergence pour ce x. Donc, ayant en tête de montrer qu'il n'y a pas convergence simple, je prend x=-1.
Pour un tel x notre somme vaut la somme des (-1/n)*exp(n) qui, me semble-t-il, diverge. Donc notre somme ne converge pas simplement sur R, donc ne converge d'aucune autre façon.!

C'est plutôt l'étude de la série suivant certaines propriétés de , ici c'est le signe de et ce à cause du facteur . Quand tu as pris , tu as traité un cas particulier de , tu as montré en fait que la série ne converge pas simplement sur . En général on essaie de donner plus de précisions concernant la nature de la série, son domaine D de converge simple par exemple et on étudiera alors les différents types de convergence sur D ou des parties de D.

[chamalot1234]

D'accord, donc dans ce cas je suppose qu'il faut travailler sur R+, ou peut être même sur ]-1;+°°[ ? Seulement à partir de là je n'arrive plus à tirer de conclusions....

[eratos]

pour x>0 n>0 => nx^3>0 avec la croissance de exp: e^nx3>1 donc 1/n > 1/(e^nx3)n. tu conclues avec les théorèmes de comparaisons des séries.

EDIT:je suis à coté de la plaque

[chamalot1234]

MDR merci pour ton edit j'étais en train de me retourner le cerveau !! puisque la somme des 1/n diverge !

[eratos]

MDR merci pour ton edit j'étais en train de me retourner le cerveau !! puisque la somme des 1/n diverge !

Ouais désolé, je suis allé trop vite, va falloir trouver autre chose :stupid:
si on veut montrer la divergence ,le truc ça serait de minorer la suite par une autre suite qui soit terme général d'une série divergente, là on peut rien conclure avec mes conneries.
Et en plus on se dit qu'elle converge sur {x>0} cette série; :lol3:

[deltab]

Bonjour.

En posant ,on a :

L'application de la règles de Cauchy ou celle de d'Alembert suffit pour conclure.