équation d'un cercle

[roger33]

Bonjour à tous, je suis depuis plus de 2h sur cet exercice et je n'arrive pas à ma lancer.

Voici l'énoncé :

Déterminer l'ensemble des valeurs du réel k pour que l'équation x²+y²-2x+4y+k=0 soit celle d'un cercle.


La question paraît pourtant simple mais je suis bloqué au stade "cette équation est celle d'un cercle de centre A(1;-2) et de rayon "racine carré de (5-k)"
Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Bonjour à tous, je suis depuis plus de 2h sur cet exercice et je n'arrive pas à ma lancer.

Voici l'énoncé :

Déterminer l'ensemble des valeurs du réel k pour que l'équation x²+y²-2x+4y+k=0 soit celle d'un cercle.


La question paraît pourtant simple mais je suis bloqué au stade "cette équation est celle d'un cercle de centre A(1;-2) et de rayon "racine carré de (5-k)"
Merci d'avance pour votre aide.

salut
Il faut que k soit tel que 5-k soit un carré

[roger33]

salut
Il faut que k soit tel que 5-k soit un carré

j'étais arrivé à (x-1)² +(y+2)² = [racine carré (5-k)]²
c'est grâce à ceci que je suis arrivé à mes conclusions sur les coordonnées du centre et le rayon, mais comment déterminer k par la suite ?

[radoude]

Bonjour à tous, je suis depuis plus de 2h sur cet exercice et je n'arrive pas à ma lancer.

Voici l'énoncé :

Déterminer l'ensemble des valeurs du réel k pour que l'équation x²+y²-2x+4y+k=0 soit celle d'un cercle.


La question paraît pourtant simple mais je suis bloqué au stade "cette équation est celle d'un cercle de centre A(1;-2) et de rayon "racine carré de (5-k)"
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
Tu dois mettre cette équation sous la forme "canonique" d'un cercle:
où (r,s)sont les coordonnées du centre.
Il existe deux méthodes pour y parvenir:
1°. Tu pars de l'équation canonique que tu "déballes" avec r et s inconnus puis tu identifies les coefficients de ton équation déballée avec ceux de l'équation proposée. Tu verras alors les valeurs que doivent prendre r et s et R

2°. Plus court:tu pars de l'équation proposée et tu fais ce petit chipotage:
ex:

tu repères alors immédiatement le centre du cercle et le rayon

[roger33]

Bonjour,
Tu dois mettre cette équation sous la forme "canonique" d'un cercle:
où (r,s)sont les coordonnées du centre.
Il existe deux méthodes pour y parvenir:
1°. Tu pars de l'équation canonique que tu "déballes" avec r et s inconnus puis tu identifies les coefficients de ton équation déballée avec ceux de l'équation proposée. Tu verras alors les valeurs que doivent prendre r et s et R

2°. Plus court:tu pars de l'équation proposée et tu fais ce petit chipotage:
ex:

tu repères alors immédiatement le centre du cercle et le rayon

j'arrive à (x-1)² +(y+2)² = [racine carré (5-k)]²
c'est grâce à ceci que je suis arrivé à mes conclusions sur les coordonnées du centre et le rayon, mais comment déterminer k par la suite ?

[chan79]

j'arrive à (x-1)² +(y+2)² = [racine carré (5-k)]²
c'est grâce à ceci que je suis arrivé à mes conclusions sur les coordonnées du centre et le rayon, mais comment déterminer k par la suite ?

5-k doit être positif

[roger33]

5-k doit être positif

donc on obtient juste k<5 , cela fait un nombre infini de solutions, est-ce normal ?

[paquito]

Tu regroupe x²-2x et y²+4y; x²-2x =(x-1)²-1; y²+4y=(y+2)²-4; ton équation devient:
(x-1)²+(y+2)=5-k, donc R²=5-k, ce qui n'est possible que si 5-k>0.
Conclusion: si 5-k<0, c'est l'ensemble vide; si 5-k=0 le cercle est réduit à son centre (1; -2) et si
5-k>0, on obtient le cercle de centre (1; -2) et de rayon V(5-k).