Déterminé le centre et le rayon du cercle d'équation
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 15:10
Bonjours,
je n'arrive pas a résoudre les 2 exercices suivant:
Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation:
a) x²+2x+y²+4y+4=0
pour celui-la j'ai fait:
x²+2x+1-1+y²+4y+4-4+4
(x+1)²+(y+2)²=1
a partir d'ici je ne sais pas quoi faire.
b) x²+5x+y²+y-6=0
Celui la je ne comprend pas comment le résoudre.
Quelqu'un peut il m'expliquer une méthode pour résoudre ce type d'équation?
Merci d'avance.
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 12 Juin 2010, 15:13
(x+1)²+(y+2)²=1
a partir d'ici je ne sais pas quoi faire.
La formule générale d'un cercle s'écrit (x-a)²+(y-b)²=R²
avec (a,b) les coordonnées du centre et R le rayon.
Identifies tout ça avec ton équation et tu vas trouver a,b,R
Pourquoi ne fais tu pas pareil avec le b) ?
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 15:20
D'accord mais comment transformer
x²+5x sous la forme (x+1)²?
pour la partie
y²+y-6=0 sa devient (y-3)²?
Merci pour ton aide
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 15:27
Bonjour,
En fait la partie de l'équation importante en x est x²+5x, c'est à dire que le terme constant est une sorte de poubelle pour permettre d'écrire de façon générale : x²+bx+c=(x+b/2)²+c-b/2
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 15:41
Par exemple si on a :
x²+6x+y²-8y+13=0
Comme on a 6x et -8y, on va chercher à écrire quelque chose du type :
(x+6/2)²+(y-8/2)²+C=0 se que se simplifie : (x+3)²+(y-4)²+C=0
Où C est une constante. En te montrant les étapes on a :
x²+6x+y²-8y+13=0
x²+3*2x+3²+y²-4*2y+4²-3²-4²+13=0
On ajoute les termes qui nous arange (en rouge), puis on les retire (en bleu) pour que l'égalité reste vraie.
On a donc :
x²+3*2x+3²+y²-4*2y+4²-9-16+13=0
En bleu on reconnait des identité remarquables :
(x+3)²+(y-4)²-12=0
Donc :
(x+3)²+(y-4)²=(2V3)²
On a mis cette équation sous la forme que Ericovichi t'a donné, cela correspond à un cercle de rayon 2V3 et centre (-3,4)
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 15:56
Ok je crois que j'ai compris:
pour cette équation:
x²+5x+y²+y-6=0
x²+5x+5²+y²+y+1²-1²-5²-6=0
(x+5)²+(y+1)²=-20
C'est juste? =)
Je ne comprend pas bien la fin de ton exemple: (2V3)². Pourquoi le 12 devient 2V3 et pourquoi est il au carée?
Merci pour ton aide.
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 16:04
Ce n'est pas ça mais tu as compris l'idée.
L'identité remarquable est :
(x+a)²=x²+2ax+a²
C'est pour ça que j'ai mis des " /2 " un peu partout : Si j'ai, par exemple un terme en x²+7x+..., j'essaie de le tranformer en (x+7/2)², pour retrouver x²+2*(7/2)*x+(7/2)²+...=x²+7x+...
En fait tu ajoutes les termes constants qui t'arrange (à condition de les enlever après comme je l'ai déjà montré).
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 16:07
Et pour le terme en racine carré, il vient du fait que quand on met une équation sous la forme :
(x-a)²+(y-b)²=A (A>0)
... A représente le carré du rayon du cercle de centre (a;b), qui a donc un rayon VA ... Dans mon exemple A=12 et VA=2V3 (en effet (2V3)²=2²*(V3)²=4*3=12).
En fait j'ai écrit (VA)² (qui est A) pour expliciter la valeur du rayon.
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 16:27
Désole j'avais pas vu le "/2" donc sa donne:
x²+5x+y²+y-6=0
x²+5x+(5/2)²-(5/2)²+y²+y+(1/2)²-(1/2)²-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)-(5/2)²-(1/2)²-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)-26/4-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)=0
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 16:38
Y'a de l'idée, il manque les "²" et 26/4 n'est pas égal à -6 (ni à 6) ...
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 16:44
Je vais y arriver :mur:
(x+5/2)²+(y+1/2)²-26/4-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²-13/2-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²=25/2
et j'ai une dernier question si l'équation ressemble a ca:
x²-8x+y²=0
pour la partie x²-8x, je fais comme au dessus mais pour la partie y² je fais comment?
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Olympus
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par Olympus » 12 Juin 2010, 16:57
Petite astuce, en général il suffit que tu appliques sans réfléchir cette identité :
avec
un réel pouvant être négatif ou positif .
Donc tu ne cherches pas
"ce qu'il faut ajouter puis soustraire pour former des identités remarquables sans nuire à l'égalité", mais tu appliques plutôt l'identité au-dessus .
Pour ton y², ben c'est égal à (y-0)² .
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 17:45
niko1100 a écrit:Je vais y arriver :mur:
(x+5/2)²+(y+1/2)²-26/4-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²-13/2-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²=25/2
et j'ai une dernier question si l'équation ressemble a ca:
x²-8x+y²=0
pour la partie x²-8x, je fais comme au dessus mais pour la partie y² je fais comment?
Il me semble que c'est ça. Maintenant tu dois nous dire quel est le centre du cercle et son rayon.
Si maintenant tu as y²+0*y=y², il n'y a rien à faire puisqu'il est déjà sous la forme (y+b)² : y²=(y+0)²
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 12 Juin 2010, 17:46
Tiens, je te propose un petit exercice pas très compliqué et sympa si tu as compris :
Pour tout réel
, on note
l'ensemble des points
tels que :
Démontrer que pour tout
,
est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon en fonction de
.
Bon travail :++:
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niko1100
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par niko1100 » 12 Juin 2010, 17:54
Un grand merci à tous pour votre aide.
Dinozzo13 je vais essayer sa demain parce-que la j'ai un peux la tète qui va exploser. :we:
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 18:01
Dinozzo13 a écrit:Tiens, je te propose un petit exercice pas très compliqué et sympa si tu as compris :
Pour tout réel
, on note
l'ensemble des points
tels que :
Démontrer que pour tout
,
est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon en fonction de
.
Bon travail :++:
J'ai pas essayé mais peu être qu'il existe des valeurs de m pour lesquels R²<0 (!...). C'est le moment de sensibiliser sur des équations du type : x²+y²=-1 qui ne sont pas des équations de cercle ...?
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 12 Juin 2010, 18:18
niko1100 a écrit:Un grand merci à tous pour votre aide.
Dinozzo13 je vais essayer sa demain parce-que la j'ai un peux la tète qui va exploser. :we:
Pas de problème, c'est pour ton entrainement personnel, je ne t'oblige à rien ^^.
@ Valentin.b : :hum: Tu auras toujours R>0 du fait que la consigne demande de démontrer que peu importe les valeurs de m, C_m est toujours un cercle.
L'ensemble des points M(x;y) tels que :
est vide car pour tout x, y :
et
donc
.
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valentin.b
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par valentin.b » 12 Juin 2010, 18:34
Dinozzo13 a écrit:@ Valentin.b : :hum: Tu auras toujours R>0 du fait que la consigne demande de démontrer que peu importe les valeurs de m, C_m est toujours un cercle.
L'ensemble des points M(x;y) tels que :
est vide car pour tout x, y :
et
donc
.
Effectivement, j'ai pas lu la consigne ... Mais cela n'empêche qu'il y a des équations de la forme x²+ax+y²+by=c qui ne sont pas des équations de cercle (c'est là où je voulais en venir), en effet il n'y a aucun couple de réel x et y qui vérifient x²+y²=-1.
Et comme j'ai le sens de la contradiction si on prend x=0, y=i, ça marche ... :bad:
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Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 12 Juin 2010, 18:46
Oui, en effet après, ça dépend si on se place dans
ou
.
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oscar
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par oscar » 12 Juin 2010, 21:53
a) le premier cercle a poupr centre ( -2;2) et pour rayon 1
b) le 2e cercle a pour rayon ( ; ) à et rayon ...
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