Déterminé le centre et le rayon du cercle d'équation

[niko1100]

Bonjours,
je n'arrive pas a résoudre les 2 exercices suivant:

Détermine le centre et le rayon du cercle d'équation:

a) x²+2x+y²+4y+4=0
pour celui-la j'ai fait:
x²+2x+1-1+y²+4y+4-4+4
(x+1)²+(y+2)²=1
a partir d'ici je ne sais pas quoi faire.

b) x²+5x+y²+y-6=0
Celui la je ne comprend pas comment le résoudre.

Quelqu'un peut il m'expliquer une méthode pour résoudre ce type d'équation?

Merci d'avance.

[Ericovitchi]

(x+1)²+(y+2)²=1
a partir d'ici je ne sais pas quoi faire.

La formule générale d'un cercle s'écrit (x-a)²+(y-b)²=R²
avec (a,b) les coordonnées du centre et R le rayon.
Identifies tout ça avec ton équation et tu vas trouver a,b,R

Pourquoi ne fais tu pas pareil avec le b) ?

[niko1100]

D'accord mais comment transformer
x²+5x sous la forme (x+1)²?
pour la partie
y²+y-6=0 sa devient (y-3)²?

Merci pour ton aide

[valentin.b]

Bonjour,

En fait la partie de l'équation importante en x est x²+5x, c'est à dire que le terme constant est une sorte de poubelle pour permettre d'écrire de façon générale : x²+bx+c=(x+b/2)²+c-b/2

[valentin.b]

Par exemple si on a :
x²+6x+y²-8y+13=0

Comme on a 6x et -8y, on va chercher à écrire quelque chose du type :
(x+6/2)²+(y-8/2)²+C=0 se que se simplifie : (x+3)²+(y-4)²+C=0

Où C est une constante. En te montrant les étapes on a :

x²+6x+y²-8y+13=0
x²+3*2x+3²+y²-4*2y+4²-3²-4²+13=0

On ajoute les termes qui nous arange (en rouge), puis on les retire (en bleu) pour que l'égalité reste vraie.

On a donc :
x²+3*2x+3²+y²-4*2y+4²-9-16+13=0

En bleu on reconnait des identité remarquables :
(x+3)²+(y-4)²-12=0

Donc :
(x+3)²+(y-4)²=(2V3)²

On a mis cette équation sous la forme que Ericovichi t'a donné, cela correspond à un cercle de rayon 2V3 et centre (-3,4)

[niko1100]

Ok je crois que j'ai compris:
pour cette équation:
x²+5x+y²+y-6=0
x²+5x+5²+y²+y+1²-1²-5²-6=0
(x+5)²+(y+1)²=-20
C'est juste? =)

Je ne comprend pas bien la fin de ton exemple: (2V3)². Pourquoi le 12 devient 2V3 et pourquoi est il au carée?

Merci pour ton aide.

[valentin.b]

Ce n'est pas ça mais tu as compris l'idée.

L'identité remarquable est :
(x+a)²=x²+2ax+a²

C'est pour ça que j'ai mis des " /2 " un peu partout : Si j'ai, par exemple un terme en x²+7x+..., j'essaie de le tranformer en (x+7/2)², pour retrouver x²+2*(7/2)*x+(7/2)²+...=x²+7x+...

En fait tu ajoutes les termes constants qui t'arrange (à condition de les enlever après comme je l'ai déjà montré).

[valentin.b]

Et pour le terme en racine carré, il vient du fait que quand on met une équation sous la forme :
(x-a)²+(y-b)²=A (A>0)
... A représente le carré du rayon du cercle de centre (a;b), qui a donc un rayon VA ... Dans mon exemple A=12 et VA=2V3 (en effet (2V3)²=2²*(V3)²=4*3=12).
En fait j'ai écrit (VA)² (qui est A) pour expliciter la valeur du rayon.

[niko1100]

Désole j'avais pas vu le "/2" donc sa donne:

x²+5x+y²+y-6=0
x²+5x+(5/2)²-(5/2)²+y²+y+(1/2)²-(1/2)²-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)-(5/2)²-(1/2)²-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)-26/4-6=0
(x+5/2)+(y+1/2)=0

[valentin.b]

Y'a de l'idée, il manque les "²" et 26/4 n'est pas égal à -6 (ni à 6) ...

[niko1100]

Je vais y arriver :mur:
(x+5/2)²+(y+1/2)²-26/4-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²-13/2-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²=25/2

et j'ai une dernier question si l'équation ressemble a ca:
x²-8x+y²=0
pour la partie x²-8x, je fais comme au dessus mais pour la partie y² je fais comment?

[Olympus]

Petite astuce, en général il suffit que tu appliques sans réfléchir cette identité :

avec un réel pouvant être négatif ou positif .

Donc tu ne cherches pas "ce qu'il faut ajouter puis soustraire pour former des identités remarquables sans nuire à l'égalité", mais tu appliques plutôt l'identité au-dessus .

Pour ton y², ben c'est égal à (y-0)² .

[valentin.b]

Je vais y arriver :mur:
(x+5/2)²+(y+1/2)²-26/4-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²-13/2-6=0
(x+5/2)²+(y+1/2)²=25/2

et j'ai une dernier question si l'équation ressemble a ca:
x²-8x+y²=0
pour la partie x²-8x, je fais comme au dessus mais pour la partie y² je fais comment?

Il me semble que c'est ça. Maintenant tu dois nous dire quel est le centre du cercle et son rayon.

Si maintenant tu as y²+0*y=y², il n'y a rien à faire puisqu'il est déjà sous la forme (y+b)² : y²=(y+0)²

[Dinozzo13]

Tiens, je te propose un petit exercice pas très compliqué et sympa si tu as compris :

Pour tout réel , on note l'ensemble des points tels que :

Démontrer que pour tout , est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon en fonction de .

Bon travail :++:

[niko1100]

Un grand merci à tous pour votre aide.
Dinozzo13 je vais essayer sa demain parce-que la j'ai un peux la tète qui va exploser. :we:

[valentin.b]

Tiens, je te propose un petit exercice pas très compliqué et sympa si tu as compris :

Pour tout réel , on note l'ensemble des points tels que :

Démontrer que pour tout , est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon en fonction de .

Bon travail :++:

J'ai pas essayé mais peu être qu'il existe des valeurs de m pour lesquels R²<0 (!...). C'est le moment de sensibiliser sur des équations du type : x²+y²=-1 qui ne sont pas des équations de cercle ...?

[Dinozzo13]

Un grand merci à tous pour votre aide.
Dinozzo13 je vais essayer sa demain parce-que la j'ai un peux la tète qui va exploser. :we:

Pas de problème, c'est pour ton entrainement personnel, je ne t'oblige à rien ^^.

@ Valentin.b : :hum: Tu auras toujours R>0 du fait que la consigne demande de démontrer que peu importe les valeurs de m, C_m est toujours un cercle.

L'ensemble des points M(x;y) tels que : est vide car pour tout x, y : et donc .

[valentin.b]

@ Valentin.b : :hum: Tu auras toujours R>0 du fait que la consigne demande de démontrer que peu importe les valeurs de m, C_m est toujours un cercle.

L'ensemble des points M(x;y) tels que : est vide car pour tout x, y : et donc .

Effectivement, j'ai pas lu la consigne ... Mais cela n'empêche qu'il y a des équations de la forme x²+ax+y²+by=c qui ne sont pas des équations de cercle (c'est là où je voulais en venir), en effet il n'y a aucun couple de réel x et y qui vérifient x²+y²=-1.

Et comme j'ai le sens de la contradiction si on prend x=0, y=i, ça marche ... :bad:

[Dinozzo13]

Oui, en effet après, ça dépend si on se place dans ou .

[oscar]

a) le premier cercle a poupr centre ( -2;2) et pour rayon 1

b) le 2e cercle a pour rayon ( ; ) à et rayon ...