Dérivés - sens de variation

[analia]

Bonjour,

Peut-être quelqu'un peut-il m'apporter un éclairage sur un point concernant les dérivés.

Je doit en effet justifier que f, définie sur l'intervalle [0; 0,2] par f(x)=1-(1+x)^(-5), est strictement croissante sur cet intervalle.

Il me semble qu'en général le signe de la dérivée d'une fonction permet de statuer sur le sens de variation d'une fonction. Le problème est que dans notre cas, f(x) est de la forme u^n, or pour dériver u^n, il me semble que n doit être strictement > à 1. Doit-on en conclure que f n'est pas dérivable dans ce cas précis ? Le problème est d'autant plus central que je dois ensuite déterminer la tengeante à la courbe représentative au point d'abscisse 0. Effectivement, si seul le sens de variation était à définir, on pourrait se passer de la dérivée en décomposant f(x). 1/ 1+x est strictement croissant; 2/ (1+x)^(-5) est décroissant 3/ -(1+x)^(-5) est croissant 4/ donc 1-(1+x)^(-5) est strictement croissant. Néanmoins, qu'en est-il de a dérivé de cette fonction ?

Merci.

[titine]

Bonjour,

Peut-être quelqu'un peut-il m'apporter un éclairage sur un point concernant les dérivés.

Je doit en effet justifier que f, définie sur l'intervalle [0; 0,2] par f(x)=1-(1+x)^(-5), est strictement croissante sur cet intervalle.

Il me semble qu'en général le signe de la dérivée d'une fonction permet de statuer sur le sens de variation d'une fonction. Le problème est que dans notre cas, f(x) est de la forme u^n, or pour dériver u^n, il me semble que n doit être strictement > à 1. Doit-on en conclure que f n'est pas dérivable dans ce cas précis ? Le problème est d'autant plus central que je dois ensuite déterminer la tengeante à la courbe représentative au point d'abscisse 0. Effectivement, si seul le sens de variation était à définir, on pourrait se passer de la dérivée en décomposant f(x). 1/ 1+x est strictement croissant; 2/ (1+x)^(-5) est décroissant 3/ -(1+x)^(-5) est croissant 4/ donc 1-(1+x)^(-5) est strictement croissant. Néanmoins, qu'en est-il de a dérivé de cette fonction ?

Merci.

Si tu ne connais la dérivée de u^n que pour n>1 tu peux dire que (1+x)^-5 = 1/(1+x)^5 et dériver avec(1/v)' = v'/v²
Donc la dérivée de 1/(1+x)^5 est (1+x)^4/(1+x)^10 = 1/(1+x)^6

[analia]

Merci pour ta réponse.

Effectivement, je n'y avais pas pensé. Néanmoins, on obtient la même dérivé qu'avec u^n. Donc cette histoire de n>1 semble un peu fumeuse...

Merci en tous cas.

[Ericovitchi]

tu peux aussi te dire que f(x)=1-1/(1+x)^5 donc quand x augmente, tu enlèves à 1 quelque chose de plus en plus petit, donc ça croit.

(sinon attention, (1/v)' = -v'/v²) et la dérivée de 1/(1+x)^5 est -5/(1+x)^6 )

[analia]

merci ericovitchi, titine avait oublié le -5 au numérateur.

Mais du coup, si la dérivée est négative, f devrait être décroissante non ?

[analia]

Autant pour moi, c'est -1/(1+x)^(-5) qu'on dérive et non 1/(1+x)^(-5)...

[paquito]

La formule (u^n)' =nu'u^n-1 est valable aussi pour n<0 et même pour x réel (attention au domaine de définition!); donc ici, f'(x)=-1(-5)(1+x)^-6=5(1+x)^-6, donc >0 sur l'intervalle donné.

[analia]

http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_d%C3%A9riv%C3%A9e/D%C3%A9riv%C3%A9e_de_la_puissance_%C3%A9ni%C3%A8me_d'une_fonction

Donc wikipedia dit faux ?