Optimisation géométrique

[Aureliebeaulieu59]

Bonjour,

Je poste ce message car j'ai un gros soucie avec le problème d'optimisation que mon professeur ma donnée. Voici l’énoncé: "La partie supérieure droite d'une feuille de papier de 30 cm sur 20 cm est
repliée le long du bord inférieur. Comment choisir l'endroit du pli pour minimiser la longueur du pli?"
Et de plus, mon professeur me demande de le résoudre en utilisant les dérivée. Alors ce que j'ai fait, c'est de dessiner la feuille de papier et d'essayer de trouver mon calcule de départ, mais je n'y arrive pas.
Je vous remercie d'avance.
Cordialement Aurelie.

[Black Jack]

Sur mon dessin, j'ai colorié d'une même couleur, des longueurs identiques.
Le pli est en vert.

On choisit un repère (par exemple celui que j'ai dessiné)

On peut repérer immédiatement plusieurs points par leur coordonnées ;

A(0 ; 0)
B(30 ; 0)
C(30 ; 20)
D(0 ; 20)

Supposons qu'on plie avec FB = L (L sera la longueur à determiner pour que |EF| soit minimum

Quelques calculs permettent de trouver les coordonnées de E (en fonction de L)

On peut ensuite calculer |EF|² en fonction de L (puisqu'on a les coordonnées de E et de F).

Et puis en dérivant par rapport à L, on peut trouver la valeur de L pour que EF² (et donc aussi EF) soit minimum.

:zen:

[Aureliebeaulieu59]

vous êtes trop rapide... Je ne comprend pas ce que vous voulez dire

[Tiruxa]

Ou bien sans utiliser de coordonnées,
Si on pose BF=x, on a CF=20-x=GF, Pythagore nous donne BG.

Si on place K sur (AB) tel que EDAK soit un rectangle on peut démontrer que les triangles EKG et FBG sont semblables. Cela donne EG.

Enfin Pythagore dans EFG donne EF en fonction de x.

[Aureliebeaulieu59]

Ou bien sans utiliser de coordonnées,
Si on pose BF=x, on a CF=20-x=GF, Pythagore nous donne BG.

Si on place K sur (AB) tel que EDAK soit un rectangle on peut démontrer que les triangles EKG et FBG sont semblables. Cela donne EG.

Enfin Pythagore dans EFG donne EF en fonction de x.

Mais au faite je doit obligatoirement introduire un calcule de dérivées dans tout ceci.

[Black Jack]

FB = L

CF = GF = 20 - L

GF² = GB² + FB²
(20-L)² = GB² + L²
400 + L² - 40L = GB² + L²
GB² = 400 - 40L

AB = AG + GB
30 = AG + V(400 - 40L) (avec V pour racine carrée).
AG = 30 - V(400 - 40L)

Avec K la projection orthogonale de E qur (AB) :
Les triangles EKG et GBF sont semblebles (de même forme)
--> EK/GB = EG/GF = KG/BF (or EK = 20)

20/V(400-40L) = KG/L
KG = 20.L/V(400-40L)

DE = AG - KG
DE = 30 - V(400 - 40L) - 20.L/V(400-40L)

---> E(30 - V(400 - 40L) - 20.L/V(400-40L) ; 20)

F(30 ; L)

EF² = [V(400 - 40L) + 20.L/V(400-40L)]² + (20 - L)²

EF² = [400 - 40L + 20.L]²/(400-40L) + (20 - L)²
EF² = (400 - 20L)²/(400-40L) + (20 - L)²
EF² = [(400 - 20L)² + (20 - L)².(400-40L)]/(400-40L)
EF² = [400(20 - L)² + (20 - L)².(400-40L)]/(400-40L)
EF² = (20-L)²[400 + (400-40L)]/(400-40L)
EF² = (20-L)³/(10-L)
---> L est dans [0 ; 10[

Il reste à tout vérifier (car rien relu)

Et puis chercher la valeur de L qui rend f(L) = (20-L)³/(10-L) minimum.

... on trouvera, je pense L = 5 cm

:zen:

[Aureliebeaulieu59]

FB = L

CF = GF = 20 - L

GF² = GB² + FB²
(20-L)² = GB² + L²
400 + L² - 40L = GB² + L²
GB² = 400 - 40L

AB = AG + GB
30 = AG + V(400 - 40L) (avec V pour racine carrée).
AG = 30 - V(400 - 40L)

Avec K la projection orthogonale de E qur (AB) :
Les triangles EKG et GBF sont semblebles (de même forme)
--> EK/GB = EG/GF = KG/BF (or EK = 20)

20/V(400-40L) = KG/L
KG = 20.L/V(400-40L)

DE = AG - KG
DE = 30 - V(400 - 40L) - 20.L/V(400-40L)

---> E(30 - V(400 - 40L) - 20.L/V(400-40L) ; 20)

F(30 ; L)

EF² = [V(400 - 40L) + 20.L/V(400-40L)]² + (20 - L)²

EF² = [400 - 40L + 20.L]²/(400-40L) + (20 - L)²
EF² = (400 - 20L)²/(400-40L) + (20 - L)²
EF² = [(400 - 20L)² + (20 - L)².(400-40L)]/(400-40L)
EF² = [400(20 - L)² + (20 - L)².(400-40L)]/(400-40L)
EF² = (20-L)²[400 + (400-40L)]/(400-40L)
EF² = (20-L)³/(10-L)
---> L est dans [0 ; 10[

Il reste à tout vérifier (car rien relu)

Et puis chercher la valeur de L qui rend f(L) = (20-L)³/(10-L) minimum.

... on trouvera, je pense L = 5 cm

:zen:

Merci beaucoup de votre aide :ptdr:

[Ben314]

Salut,
En reprenant les notations du dessin de black-jack et en introduisant le milieu H de [CG] (ce qui est naturel vu que la droite (EF) est par construction la médiatrice de [CG]).

On pose aussi L=CB (=20 si j'ai bien compris) et t=1/CF>0 (plus simple à résoudre à la fin)

1) (CHF) et (CBG) sont semblables (dans cet ordre) donc CF/CH=CG/CB=2CH/CB c'est à dire CH²=L/(2t)

2) (CHF) et (ECF) sont semblables (dans cet ordre) donc FH/CF=CF/EF c'est à dire FH=1/(t².EF)

3) (CHF) rectangle en H donc CF²=CH²+HF² soit 1/t²=L/(2t)+1/(t²EF)² donc 1/EF²=t²-(L/2)t^3

Minimiser EF revient à maximiser f(t)=t²-(L/2)t^3 et comme f'(t)=2t-(3L/2)t² le max est obtenu pour t=4/(3L).
Dans ce cas, on a CF=1/t=(3/4)L (simple à tracer...) et 1/EF²=t²-(L/2)t^3=16/(27L²) donc EF=(3.racine(3)/4)L

[Black Jack]

Salut,
En reprenant les notations du dessin de black-jack et en introduisant le milieu H de [CG] (ce qui est naturel vu que la droite (EF) est par construction la médiatrice de [CG]).

On pose aussi L=CB (=20 si j'ai bien compris) et t=1/CF>0 (plus simple à résoudre à la fin)

1) (CHF) et (CBG) sont semblables (dans cet ordre) donc CF/CH=CG/CB=2CH/CB c'est à dire CH²=L/(2t)

2) (CHF) et (ECF) sont semblables (dans cet ordre) donc FH/CF=CF/EF c'est à dire FH=1/(t².EF)

3) (CHF) rectangle en H donc CF²=CH²+HF² soit 1/t²=L/(2t)+1/(t²EF)² donc 1/EF²=t²-(L/2)t^3

Minimiser EF revient à maximiser f(t)=t²-(L/2)t^3 et comme f'(t)=2t-(3L/2)t² le max est obtenu pour t=4/(3L).
Dans ce cas, on a CF=1/t=(3/4)L (simple à tracer...) et 1/EF²=t²-(L/2)t^3=16/(27L²) donc EF=(3.racine(3)/4)L

Ton L n'est pas le même que le mien.
Tu trouves CF=1/t=(3/4)L (de ton L qui vaut 20) ---> CF = 15 (cm)

Et moi je trouve L = 5 cm (mais c'est mon L qui vaut FB)

Ces 2 réponses sont équivalentes.

:zen: