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par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 15:02

Bonjour à tous, je viens vous demander de l'aide car à un exercice, je n'arrive pas du tout à avancer...

Voici l'énoncé: Dans l'espace, on considère la projection orthogonale sur le plan d'équation x+y-z=0

1.Donner un système d'équation cartésienne de la droite orthogonale à un plan passant par l'origine.

Je sais pas si c'est juste mais on exprime les coordonnées de l'origine 0 (0;0;0), on utilise les équations paramétriques:

x=t
y=t
z=-t

On élimine les t

x-y=0
z+x=0

2.Donner l'expression analytique de la projection évoquée.

Je sais pas du tout comment faire pour cette question :/

3.Expliciter sa matrice A (dans la base canonique de R3)
Je n'arrive pas à comprendre la question et sans question 2 impossible de la faire

4.Que vaut A? Pouvait-on le savoir sans calcul?

sans question 3 impossible

5.Que vaut A²? Pouvait-on le savoir sans calcul?

Pareil

Merci de votre aide!

par **Maxmau** » 09 Mar 2014, 15:52

Bj
la droite orthogonale au plan et passant par m(x,y,z) coupe ce plan en m'(x',y',z').
m' est le projeté orthogonal de m sur le plan.

par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 16:52

Maxmau a écrit:Bj
la droite orthogonale au plan et passant par m(x,y,z) coupe ce plan en m'(x',y',z').
m' est le projeté orthogonal de m sur le plan.

Dans ce cas là, on trouverait des équations de la forme ax+by+cz=0 mais comment peut-on trouver les coefficients (a,b,c) des différentes équations?

par **Maxmau** » 09 Mar 2014, 17:13

Lorsque t varie le point (x+t,y+t,z-t) décrit la droite passant par m(x,y,z) et orthogonale au plan d'équation x+y-z=0. le point (x+t,y+t,z-t) est ds ce plan lorsque (x+t)+(y+t)-(z-t)=0 c'est à dire lorsque t = (1/3)(-x-y+z)
le point (x+(1/3)(-x-y+z) , y+(1/3)(-x-y+z) , z-(1/3)(-x-y+z)) est donc le point h'(x',y',z') projeté orthogonal de m(x,y,z) sur le plan x+y-z=0.
précise toi-même les égalités donnant x',y',z' en fonction de x,y,z.
Ensuite écris matriciellement ces 3 égalités scalaires

par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 18:16

Maxmau a écrit:Lorsque t varie le point (x+t,y+t,z-t) décrit la droite passant par m(x,y,z) et orthogonale au plan d'équation x+y-z=0. le point (x+t,y+t,z-t) est ds ce plan lorsque (x+t)+(y+t)-(z-t)=0 c'est à dire lorsque t = (1/3)(-x-y+z)
le point (x+(1/3)(-x-y+z) , y+(1/3)(-x-y+z) , z-(1/3)(-x-y+z)) est donc le point h'(x',y',z') projeté orthogonal de m(x,y,z) sur le plan x+y-z=0.
précise toi-même les égalités donnant x',y',z' en fonction de x,y,z.
Ensuite écris matriciellement ces 3 égalités scalaires

Je sais pas si c'est ça donc

x'=2/3 x-1/3y+1/3z
y'=-1/3x+2/3y-1/3z
z'=1/3x+1/3y+2/3z

donc la matrice s'écrirait:

2/3 -1/3 1/3

-1/3 2/3 -1/3

1/3 1/3 2/3

par **Ben314** » 09 Mar 2014, 19:11

ça a l'air tout bon.
De toute façons, deux bonne vérifications, c'est les question 4) et 5) (je suppose que, dans la question 4), c'est le determinant de A qu'on te demande de calculer).

Edit : non, en fait tu as une erreur sur la deuxième ligne : ça doit être y'=-1/3x+2/3y+1/3z
(la matrice A doit être symétrique vu que c'est une symétrie orthogonale)

ReEdit : grillé par Maxmau...

par **Maxmau** » 09 Mar 2014, 19:20

MaxR83 a écrit:Je sais pas si c'est ça donc

x'=2/3 x-1/3y+1/3z
y'=-1/3x+2/3y-1/3z
z'=1/3x+1/3y+2/3z

donc la matrice s'écrirait:

2/3 -1/3 1/3

-1/3 2/3 -1/3

1/3 1/3 2/3

troisème ceff de la deuxième ligne: 1/3 ??? à revérifier

par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 19:26

Maxmau a écrit:troisème ceff de la deuxième ligne: 1/3 ??? à revérifier

Ah oui , effectivement, c'est 1/3 et non -1/3.

Du coup, pour la 3. il faut simplement donner la matrice?

Par contre, je me suis trompé pour la question 4. La question, A est-elle inversible? Du coup, il faut bien faire un déterminant

.

par **Ben314** » 09 Mar 2014, 19:44

MaxR83 a écrit:Par contre, je me suis trompé pour la question 4. La question, A est-elle inversible? Du coup, il faut bien faire un déterminant .

Par exemple.
Tu pourrait aussi échelonner la matrice A, ou bien calculer son noyau (pour voir s'il est réduit à {0}) ou bien calculer son image A (pour voir si c'est R^3 tout entier) ou... voir directement qu'il n'y a aucun calcul à faire (mais ça c'est mieux d'attendre le "pouvait-on le prévoir" pour le faire... :zen: )

par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 19:46

En tout cas, je vous remercie pour votre aide :). Je n'aurai jamais réussi... La géométrie 3D et moi ça fait 2.

par **Ben314** » 09 Mar 2014, 19:50

MaxR83 a écrit:En tout cas, je vous remercie pour votre aide . Je n'aurai jamais réussi... La géométrie 3D et moi ça fait 2.

Perso, j'apellerais plutôt ça de l'algèbre linéaire, mais bon, c'est de la géométrie qu'est née l'algèbre linéaire.

par **MaxR83** » 09 Mar 2014, 19:57

Ben314 a écrit:Perso, j'apellerais plutôt ça de l'algèbre linéaire, mais bon, c'est de la géométrie qu'est née l'algèbre linéaire.

Bin, en faites, c'était les deux premières questions qui me posait problème, avec le projeté orthogonal. En 2D, j'y arrive mais en 3D, je me perds complétement.

par **Maxmau** » 09 Mar 2014, 20:05

MaxR83 a écrit:Ah oui , effectivement, c'est 1/3 et non -1/3.

Du coup, pour la 3. il faut simplement donner la matrice?

Par contre, je me suis trompé pour la question 4. La question, A est-elle inversible? Du coup, il faut bien faire un déterminant .

Comme A² = A, A ne peut être inversible car sinon A=I

par **Ben314** » 10 Mar 2014, 00:23

Maxmau a écrit:Comme A² = A, A ne peut être inversible car sinon A=I

Heuuuuu....
Pour les matrices, A²=A c'est ce qui caractérise les matrices de projections et il y en a une ENOOOOOORME infinité (de matrices vérifant A²=A...)
Par exemple, pour tout vecteur colonne unitaire Y de R^n (i.e. tel que transposé(Y).Y=1), la matrice nxn :
A=Y.tansposé(Y)
vérifie clairemnt A²=A (c'est la matrice de la projection orthogonale sur la droite engendrée par Y)

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