Détermination de la limite de convergence simple d'une suite

[chnafon]

Bonjour à tous.

Voici mon problème: est-il possible de déterminer explicitement la limite de convergence simple d'une suite d'intégrale lorsqu'il n'y a pas convergence uniforme de son argument?

Par exemple, la suite d'intégrale définie par http://www.noelshack.com/2014-05-1391090191-mzth.jpg (pardon pour la qualité)

On sait qu'il y a convergence simple car c'est une suites d'intégrales de fonctions continues sur un intervalle borné, donc pour tout n, An converge. Mais l'argument de l'intégrale t^n/(1+t) n'est pas CU sur [0,1], il suffit de prendre la suite (1-1/n) à valeurs dans [0,1] pour voir qu'en norme infinie c'est supérieur à 1/e. On ne peut donc pas utiliser le theoreme d'inversion limite-intégrale.
Comment faire dans ce cas pour caractériser la limite de convergence simple?

[mr_pyer]

Tu pourrais utiliser le théorème de convergence dominée mais tu ne le connais peut-être pas et c'est un outil "trop fort" pour ce genre de question.

Pourquoi ne pas se ramener à l'intervalle ?

[chnafon]

Tu pourrais utiliser le théorème de convergence dominée mais tu ne le connais peut-être pas et c'est un outil "trop fort" pour ce genre de question.

Pourquoi ne pas se ramener à l'intervalle ?

Je connais le TCD oui. Il faut l'utiliser pour inverser l'intégrale et la limite, puis se ramener a un intervalle en limite lorsque tend vers 1, on obtient la convergence simple vers 0 ?

[mr_pyer]

Si tu connais le TCD ça se fait tout seul puisque la fonction tend vers 0 sur l'intervalle [0,1[ et que l'on peut dominer la fonction par la constante 1.

Mais je persiste à dire qu'il est dommage d'utiliser le TCD ici puisqu'il est vraiment inutile ici. Il suffit de se ramener à l'intervalle [0,a] et utiliser la convergence uniforme sur cet intervalle.

[Ben314]

Salut,
D'un autre coté, on peut aussi n'utiliser que le "bête" encadrement qui est suffisant pour conclure...

[mr_pyer]

Salut,
D'un autre coté, on peut aussi n'utiliser que le "bête" encadrement qui est suffisant pour conclure...

C'est beaucoup mieux effectivement !