Point mobile sur une spirale logarithmique

[mydoudouitsk]

Bonjour, je suis en train de faire un exercice de cinématique et un correction me pose problème pourriez vous me l'expliquer?

Les vecteur sont en gras

on pose un point M repéré par ses coordonnées polaires r et O(thêta) tel que OM=r.ur et (ux ,ur)=O(thêta) (axe polaire Ox) parcourt une spirale logarithmique d'équation polaire r=r0.exp(O)
La vitesse angulaire est constante.

on me demande d'exprimer la vitesse du point M, ce qui me semblait plutôt simple.
Or le rayon n'est pas constant.

et il dise que dr/dt=(dr/dO).(dO/dt) O(thêta)
pour ensuite dire que dr/dO=r0.exp(O) et c'est la que je ne comprends pas. Pourriez vous m'expliquer?

[Olympus]

Salut !

Est-ce juste la dérivée qui te bloque ? Parce que sinon dans le reste je ne pourrais pas t'aider ( j'ai pas encore ça au programme :ptdr: )



Car .

[Mathusalem]

Si je te dis qu'en coordonnées polaires, les expressions générales de la position et de la vitesse sont :




Tu ne devrais pas être choqué.

La contrainte est que

Ainsi,

Donc ton problème est entièrement déterminé par la fonction . En effet, vu la contrainte sur r, si tu connais , tu connais aussi r(t). Et donc tu pourras dériver par rapport au temps pour trouver et qui sont les dérivées temporelles de r et respectivement. Or tu ne connais pas explicitement la dépendence au temps de r(t) , donc se récrit . Ici tu vois denouveau qu'il te suffit de connaitre est t'as tout résolu.




Tu connais la dépendence de r en de la contrainte qu'on te donne. Et comme Olympus de l'a expliqué,


Maintenant, tu peux comprendre les choses : est une fonction du temps à priori, et r est une fonction de . C'est comme la composition de fonctions. Quand tu d\'erives
par rapport à x,
tu dérives d'abord
par rapport à t (où )
Ensuite par rapport à x.
Donc,
Le [2x] correspond à la dérivée interne, et dans ton problème initial, correspond à . [t^3] correspond à r() =

Ensuite, en ce qui concerne la physique, il est clair que tu ne peux pas dans ce problème avoir une expression explicite de la vitesse en fonction du temps. C'est impossible. Tu connais uniquement le chemin emprunté par la particule (i.e la contrainte). Aucune information n'est donnée sur les forces qui agissent sur lui, donc rien ne te permet de déterminer , et donc ta vitesse explicite.

J'espère avoir été clair

EDIT: Remarque que la vitesse, en remplaçant r par son expression, s'écrit :