Vitesse d'un point mobile accéléré le long d'une trajectoire donnée

[qrezix]

Bonjour à tous,
Je me pose une question dans le cadre d’un projet étudiant sur le dégagement des vitres latérales d’un véhicule par temps de pluie ;
J’ai un point, astreint à se déplacer le long d'une rampe, par exemple
C : y=f(x) , dans un repère cartésien. Pour fixer les idées on peut prendre y=exp(-x).

Le vecteur vitesse du mobile V est toujours dirigé selon le vecteur tangent à la trajectoire.
On sait que le mobile, de masse m, est soumis à son poids et à une réaction de la part de la rampe qui l’empêche de traverser celle-ci ; il est donc accéléré par la composante tangentielle de son poids tout au long du mouvement.
Ma question est : comment obtenir l’expression du vecteur vitesse du mobile en fonction de sa position, connaissant sa trajectoire?
Le mobile est initialement laché sans vitesse en x0, y=1..

Merci à tous de vos suggestions
PS : j’ai déjà pas mal cherché, et c’est pour une application physique… donc si quelqu’un a la solution et peut me la donner sans trop essayer, tel Socrate et sa maïeutique, de me la faire deviner, je lui en serais très reconnaissant !

[Mathusalem]

Salut,

Tu peux chercher du côté de la mécanique lagrangienne.

1. Tu écris le lagrangien d'une masse ponctuelle soumise à la gravité et qui se déplace dans un plan Oxy, ce qui consiste à écrire

L = T - V
où T est l'énergie cinétique, V l'énergie potentielle et ceci définit L, le Lagrangien. Donc,

L =

signifie dérivée temporelle de x.
J'ai implicitement supposé que l'axe y est l'axe vertical qui pointe vers le haut, et dont la coordonnée y repère la hauteur au-dessus du sol de la masse ponctuelle.

2. Tu fais entrer la contrainte dans le problème, à savoir que y = f(x) à tout moment. C'est-à-dire que la coordonnée y de la masse ponctuelle est forcée à valoir f(x), selon où elle se trouve en x.

Ainsi, tu remplaces
y -> f(x)


Donc l'écriture f(x)' signifie dérivée de f par rapport à x, et est la dérivée par rapport au temps de x. Le résultat vient des propriétés de la dérivée. Ainsi, ton Lagrangien devient



3. Les équations du mouvement sont par la mécanique Lagrangienne


C'est-à-dire que tu dois résoudre l'équation différentielle qui en découle. Dans ton cas, c'est



sauf erreur.

En résolvant cette équation différentielle, tu obtiens x(t).

Tu connais la relation y(t) = f(x(t))

donc tu sauras exprimer et la norme de ce vecteur (qui est bien tangent à la trajectoire) sera la vitesse recherchée.

Note : l'équa diff peut-être tendue.

Peux-tu envisager de résoudre le problème numériquement ?

[Black Jack]

Si la vitesse cherchée l'est en fonction de la position, il me semble que c'est immédiat par la conservation de l'énergie mécanique du mobile.

Pour l'exemple donné : y = e^-x comme trajectoire avec V(0) = 0 et départ au point P(0;1) :

En x = 0 : y = yo = 1 ---> E potentielle de pesanteur = mg*1 (avec l'origine des altitudes pour les Ep = 0 prise en y = 0)
Pour une altitude y : E potentielle de pesanteur = mgy

Avec v la vitesse du mobile à "l'altitude" y, on a alors : mg*1 = mgy + (1/2).mv² (A la condition que y sur tout le trajet depuis le départ jusqu'au point considéré soit <= yo = 1)

--> v² = 2g(1-y)
|v| = racinecarrée(2g(1-y))

et le vecteur vitesse a la direction de la tangente à la corbe trajectoire à "l'altitude" considérée.

Si on préfère connaître la vitesse en fonction de l'abscisse du repère, il suffit de remplacer y par e^-x dans l'exemple donné.

On a alors : |v| = racinecarrée(2g(1-e^-x))

:zen:

[Mathusalem]

Ah oui, c'est vachement plus simple. 'Fin avec ça tu obtiens la vitesse en fonction de la position. Avec le truc que j'ai mis plus haut on aurait la vitesse en fonction du temps

[larry_the_bird]

Ah oui, c'est vachement plus simple. 'Fin avec ça tu obtiens la vitesse en fonction de la position. Avec le truc que j'ai mis plus haut on aurait la vitesse en fonction du temps

Merci à tous de vos réponses (c'est moi qrezix mais mon login ne marchait plus). Effectivement la méthode énergétique est toute indiquée...

J'ai un nouveau problème! Imaginons un problème semblable au précédent, mais avec de la pluie au lieu d'un point mobile.

On cherche à savoir quel est le débit et la vitesse de l'eau qui s'écoule le long de la frontière en fonction de x.

La pluie induit un débit linéique homogène D/L, et les gouttes d'eau arrivent à vitesse v0. Lorsque une goutte arrive sur la frontière sa quantité de mouvement tangentielle, v.sin(alpha) est conservée et sa quantité de mouvement normale est annulée.

Donc on doit prendre en compte deux paramètres: l'accélération de l'eau par la gravité, qu'on peut quantifier par la méthode énergétique précédente, et l'apport de masse et de quantité de mouvement tout au long du trajet par la pluie.
Pour simplifier on n'a qu'à prendre un débit en entrée D0=0, donc D(x)=xD/L.

Mon problème: je n'arrive pas à écrire proprement l'évolution de la quantité de mouvement d'un système fermé bien choisi. Je pense qu'il faut faire un bilan local de quantité de mouvement pour avoir une équation du mouvement mais je n'arrive à rien de concluant. :stupid_in

Un petit schéma Paint est disponible ici