Etude d'une voie électrifiée

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai devant moi un exercice qui me pose problème :

On nous dit que l'alimentation d'une locomotive électrique se fait au moyen de sous-stations disposées à une distance L l'une de l'autre et qui relient les rails à une caténaire AB (cf schéma). On les modélise par des générateurs idéaux de tension (fem=E>0).
On a, branchée entre les rails, une motrice alimentée par un courant constant (on la modélise par un générateur idéal de tension).
Et enfin, on nous dit que la caténaire a une résistance par unité de longueur (valeur = r).
Voici ledit schéma :


1) On nous demande dans un premier temps de justifier le sens de I sachant que celui de E est imposé, puis d'exprimer R1 et R2 en fonction de x, L et r.
2) Ensuite de quoi il nous faut exprimer U en fonction de E, x, L, p et I.

Après quoi on voudra exprimer U = E - U (chute de tension), représenter la courbe de f(x) = U, déterminer U max et enfin, déterminer L max pour certaines valeurs de I, p, et U max,
mais je pense pouvoir le faire moi-même une fois que les deux premières questions auront été résolues.

En 1), j'imagine que le sens de I est imposé par la présence des deux générateurs de tension, mais je n'en ai pas la certitude, et ne vois pas vraiment comment le justifier.
Pour ce qui est des résistances, si l'énoncé veut bien dire ce qu'il semble vouloir dire, on a R1 = xr et R2 = (L-x)R

En 2) je reste bloqué car je n'arrive pas à voir comment inclure les deux résistance dans l'expression pour exprimer U.
Je pense pouvoir dire que U = E - x*r*i1 = E - (L-x)r*i2
où i1 et i2 sont les intensités parcourant le circuit de part et d'autre de la motrice, avant le nœud.
Mais je ne vois comment n'en faire qu'une seul expression.

Voilà, merci d'avance ...

[Benjamin]

Bonjour,

Si on considère E comme positif (un choix logique), ça veut dire qu'il y a plus de charges négatives (les électrons en fait) en bas, et plus de charges positives sur le caténaire (puisque la flèche tension est dirigée de bas en haut). Ainsi, quand le circuit est fermé par la locomotive, les électrons iront donc de bas en haut en passant par la motrice. Le courant associé est donc positif dans le sens inverse au sens de déplacement des électrons.

Pour la 1, tu as juste. Pour la 2, je ne vois pas ce que c'est que p. Sinon, pour rassembler les 2, tu as deux équations supplémentaires : i1+i2=I et l'autre, tu peux l'obtenir en calculant U_AB.

[Anonyme]

Au temps pour moi, en fait de p, c'est r. Et sur le schéma, D correspond à L dans mon texte.
Merci pour la question 1), je crois que j'ai compris.

Pour la 2) avec I = i1 + i2, je pense être en mesure d'écrire
I = (E-U)/rx + (E-U)/(r(L-x))

Soit I = (E-U)L/(rx(L-x))

Et enfin U = E - Irx(L-x)/L

Mais je ne comprends pas pourquoi faire intervenir U_AB (ce résultat me semble être celui qui est demandé ...)

[Benjamin]

Oui, autant pour moi, pas besoin d'ajouter U_AB, tu peux continuer.

[Anonyme]

D'accord, et merci beaucoup ; je pense pouvoir faire le reste.

Ah non - toutes mes excuses - il y a juste une autre question :

on considère un peu plus loin une caténaire à deux fils courts-circuités aux milieu de la ligne, ce qui remplacerait sur le schéma la section AB par deux fils en parallèle avec une résistance entre chaque nœud (cinq en tout, donc) si je ne m'abuse.
Et on nous demande de déterminer le Générateur de Norton équivalent au circuit branché aux bornes de la motrice, ce qui me bloque : je ne vois exactement comment m'y prendre ...
Merci d'avance ...