Equation différentielle au cours de la charge d'un condensat

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Priscilla09
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Equation différentielle au cours de la charge d'un condensat

par Priscilla09 » 24 Jan 2009, 20:50

Bonjour,

Je bloque sur un exercice de physique...

On charge un condensateur d'une capacité de 22 µF selon le montage shématisé (on en en série un génératuer noté E, une résistance (Uab), un condensateur (Ubd) et un interrupteur K)
Le générateeur est une alimentation stabilisée délivrant une tension E de 6,0 V ; le conducteur ohmique a une réistance R de 1.0 kilo ohm.
A l'instant initial t = 0s, le condensateur est déchargé et on ferme l'interrupteur K.

2/ Sachant que Ubd = u, exprimer la tension Uab en fonction de u et des éléments du circuit.

> On applique la loi d'additivité des tensions dans un circuit série, soit E = Uab + u ou Uab = E - u


3/ Démontrer que l'équation différentielle vérifiée par q(t) est :
q + R.C.(dq/dt) = E.C

> Soit Uab = Upn - u
Uab = R.I (loi d'ohm)
et q = C.u d'où u=q/C

Soit R.I = E - q/c

ensuite i = dq/dt

R.(dq/dt).C = E - q

et

q+R.C.(dq/dt) = E

Mais il me manque le C du coté du E...

Je n'arrive pas à trouver ce qui ne va pas...

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne soirée à tous



guigui51250
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par guigui51250 » 24 Jan 2009, 20:59

Priscilla09 a écrit:Soit R.I = E - q/c

ensuite i = dq/dt

R.(dq/dt).C = E - q

et

q+R.C.(dq/dt) = E


je pense que ça vient de l'étape en couleur

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 24 Jan 2009, 20:59

Priscilla09 a écrit:Bonjour,

Je bloque sur un exercice de physique...

On charge un condensateur d'une capacité de 22 µF selon le montage shématisé (on en en série un génératuer noté E, une résistance (Uab), un condensateur (Ubd) et un interrupteur K)
Le générateeur est une alimentation stabilisée délivrant une tension E de 6,0 V ; le conducteur ohmique a une réistance R de 1.0 kilo ohm.
A l'instant initial t = 0s, le condensateur est déchargé et on ferme l'interrupteur K.

2/ Sachant que Ubd = u, exprimer la tension Uab en fonction de u et des éléments du circuit.

> On applique la loi d'additivité des tensions dans un circuit série, soit E = Uab + u ou Uab = E - u


3/ Démontrer que l'équation différentielle vérifiée par q(t) est :
q + R.C.(dq/dt) = E.C

> Soit Uab = Upn - u
Uab = R.I (loi d'ohm)
et q = C.u d'où u=q/C

Soit R.I = E - q/c

ensuite i = dq/dt

Une simple petite erreur dans ce qui suit! Attention à la manipulation de C

R.(dq/dt).C = E - q


et

q+R.C.(dq/dt) = E

Mais il me manque le C du coté du E...

Je n'arrive pas à trouver ce qui ne va pas...

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne soirée à tous

Priscilla09
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par Priscilla09 » 24 Jan 2009, 21:04

Soit
R.(dq/dt).C = (E-(q/C)).C

et donc

R.(dq/dt).C = E.C - q

et par conséquent :

q + R.c.(dq/dt) = E.C

C'est ça ?

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 24 Jan 2009, 21:20

Priscilla09 a écrit:Soit
R.(dq/dt).C = (E-(q/C)).C

et donc

R.(dq/dt).C = E.C - q

et par conséquent :

q + R.c.(dq/dt) = E.C

C'est ça ?

oui c'est ça!

Priscilla09
Membre Naturel
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par Priscilla09 » 24 Jan 2009, 21:22

Merci beaucoup :id:

Je vais essayer de finir l'exercice, je reviendrai si besoin est :we:

Priscilla09
Membre Naturel
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par Priscilla09 » 24 Jan 2009, 21:48

Question 4 du même exercice... (pourquoi je me doutais que j'allais revenir :triste: )

Cette equation différentielle ( q(t) = q + R.C.(dq/dt) = E.C) admet pour solution : q(t) = a . (1-e^(-t/T)) [NB : le T représente la lettre greque Tau]
a) Déterminer les expressions littérales de a et de T, puis calculer leurs valeurs respectives

> Donc on a q(t) = a.(1-e^(-t/T))
et donc dq/dt = a.(t/T).e^(-t/T)) (déjà ici je ne suis pas sure de ma dérivée de l'exponentielle...)

L'equation différentielle s'écrit q + R.C.(dq/dt) = E.C
soit :
a.(1-e^(-t/T)) + R.C.(a.(t/T).e^(-t/T)) = E.C

a.e^(-t/T).(-1.R.C.(t/T)) + a = E.C

Or on sait que T=RC (définition de la constante de temps)

Donc a.e^(-t/T).(-1.t) + a = E.C

Pour a on aurait donc par identification a = E.C

Mais T ayant disparu on ne peut en donner une expression littérale, à moins que tout ce qu'il faille dire soit que T=R.C d'après la définition de la constante de temps...

Mon raisonnement semble toutefois plutôt hasardeux...
Pouvez vous me dire d'où vient le problème s'il vous plait ?

Priscilla09
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par Priscilla09 » 24 Jan 2009, 21:59

En y réfléchissant mieux, je crois que je suis à côté de la question, j'ai fait la démarche consistant à déterminer les constantes A, B et k quand on a U = A.e^(k.t)+B

...

Il suffirait donc simplement de dire que a = EC et T=RC, car il me semble que E.(1-e(-t/T)) est la solution de l'équa diff de la charge du condensateur... ?

Par quels outils démontrer ceci ?

Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 25 Jan 2009, 00:24

Priscilla09 a écrit:
Il suffirait donc simplement de dire que a = EC et T=RC, car il me semble que E.(1-e(-t/T)) est la solution de l'équa diff de la charge du condensateur... ?

Par quels outils démontrer ceci ?

cela s'appelle la recherche d'une solution particulière qui satisfasse les conditions initiales...
Tu possède la solution générale, maintenant il te faut découvrir la solution particulière en trouvant la valeur des constantes pour t=0.

Priscilla09
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par Priscilla09 » 25 Jan 2009, 12:39

Pour t=0 on a E.(1-e^(0/T)) soit E.(1-e^0)=0

Mais je crois que ceci correspond à la question suivante :

(question 5 : donner les expressions littérales à l'instant t=0 de la charge q et de dq/dt, de l'intensité i et de di/dt,
ce qui donnerait ici q=0, dq/dt= a/T, i= dq/dt = a/T et di/dt= a/T^2 ...;
Mais je ne suis pas sure de tout ceci...)


Pour la question 4 on aurait par identification a = EC et T= RC par définition ?

Priscilla09
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par Priscilla09 » 25 Jan 2009, 18:06

C'est bon, j'ai terminé mon devoir, merci pour votre aide, je m'en suis sortie :)

Bonne fin de journée.

 

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