Accélération et distance

[Nightmare]

Hello!

voici une question que je me suis posée hier en phase de présommeil et je n'ai pas réussi à trouver la démarche pour y répondre... Pourtant je suis sûr que ce n'est pas compliqué :

J'ai une voiture qui disons passe de 0 à 100km/h en 3s avec une accélération donnée f(t), peut-on calculer la distance parcoure par la voiture entre l'instant où elle est à 0 et l'instant où elle atteint les 100 km/h ?

En fait cette question vient de la suivante :

Etant donné deux voitures de poids différents mais de "même" accélération (c'est à dire que les deux mettent le même temps pour passer de 0 à 100), sachant que la voiture lourde a une accélération plus faible au démarrage et plus intense ensuite, le contraire pour la légère, quel est le véhicule qui atteint les 100 km.h-1 sur la plus courte distance?

:happy3:

[Benjamin]

Salut,

On ne peut pas calculer cette distance sans connaissance de f(t). Si tu considères une accélération constante, tu auras x(3 s)=41.7 m alors que si tu considères une accélération linéaire, tu auras x(3 s)=27.8 m.

Ta problématique n'impose qu'une seule contrainte sur f(t), c'est que . Et il y a une infinité de fonction f vérifiant cela (physiquement, f dont être mais ça ne change rien à la conclusion).

Au final, tu as .
Par contre, en fonction de la valeur moyenne de f, tu peux conclure un ordre sur x.
Plus est grand, plus x(3 s) sera grand.

Après, ce sont des maths tout ça. Si on considère E l'ensemble des applications continue de [0;3] dans IR et l'application M de E dans IR qui à une fonction f associe la valeur moyenne , je ne sais pas si il est possible de montrer qu'il y a existence et/ou unicité d'une fonction f dans E telle que M(f) soit extrémale. Auquel cas, tu aurais une réponse quant à pouvoir accélérer de manière optimale pour parcourir la plus grande ou la plus petite distance.

[Nightmare]

Bon tu m'offres déjà une modélisation mathématique du problème c'est déjà ça !

En fait je me doutais du " plus est grand, plus x(3s) sera grand" mais ça ne m'a pas aidé à trouver une méthode de calcul. Il est assez clair en fait qu'on va pouvoir rendre ton application M aussi petite ou grande que l'on veut, bien qu'après physiquement il risque d'y avoir des problèmes pratiques !

[Black Jack]

La voiture qui a une accélération plus faible au départ a forcément une vitesse plus faible que l'autre véhicule en début de course.

Ensuite l'écart de vitesse diminue avec le temps jusqu'à ce que les 2 vitesses soit égales.

Il est donc évident que la vitesse du véhicule qui a la faible accélération au départ est inférieure à celle de l'autre véhicule pendant tout l'intervalle de temps qui sépare le départ et l'instant où les vitesses deviennent identiques (et ici égales à 100 km/h)

Donc la distance (intégrale de la vitesse entre t = 0 et l'instant où les vitesses sont identiques) parcourue par la voiture qui a le plus faible accélération au départ est inférieure à celle de l'autre véhicule (sur la phase de démarrage de 0 à 100 km/h)

C'est donc la voiture à faible accélération au départ qui atteindra le 100 km/h sur la plus courte distance.

On ne peut évidemment pas calculer les distances sans connaître les fonctions f(x), mais ce n'est pas nécessaire pour répondre à la question posée en fin du topic initial... qui n'est pas la même que celle posée en début.

:zen:

[le_fabien]

Au moins on sait que l'on va pas dépasser 84 m. :zen:

[Nightmare]

Il est donc évident que la vitesse du véhicule qui a la faible accélération au départ est inférieure à celle de l'autre véhicule pendant tout l'intervalle de temps qui sépare le départ et l'instant où les vitesses deviennent identiques (et ici égales à 100 km/h)

Salut !

hum, à moins d'avoir mal compris, ceci ne me parait pas clair !

Imaginons que la voiture légère atteigne les 50km/h en 0,1 s et passe de 50 à 100 en 2,9s (bon j'exagère volontairement) et que la lourde passe de 0 à 50 en 2,9s et passe de 50 à 100 en 0,1s ?

Bon en fait, après avoir écrit ceci, ce que t'as dit me parait finalement cohérent, de toute façon, ils ne peuvent pas être à la même vitesse deux fois en même temps, donc à partir de là c'est régler.

[Benjamin]

Je viens de voir qu'il y a une erreur quand j'ai défini pour ensemble E. Il manque la condition dont j'ai parlé plus haut !!
(100km/hr=27.8m/sec, j'ai converti pour être plus propre).
Pour tout accélération obéissant à l'évolution temporelle d'une fonction de E, tu feras le 0 à 100km/hr en 3s.

Après, c'est une question de transmission de puissance. Plus grand, plus tu as besoin de fournir une puissance élevée et donc plus il faut pouvoir la fournir. Typiquement sur une voiture, en première tu injecteras au max peut-être dans les 60l/100km, puis quand tu montes tes rapports, tu peux injecter moins d'essence. Donc à un moment, tu as une fourniture de puissance qui se maximise.

[Benjamin]

La voiture qui a une accélération plus faible au départ a forcément une vitesse plus faible que l'autre véhicule en début de course.

Ensuite l'écart de vitesse diminue avec le temps jusqu'à ce que les 2 vitesses soit égales.

Il est donc évident que la vitesse du véhicule qui a la faible accélération au départ est inférieure à celle de l'autre véhicule pendant tout l'intervalle de temps qui sépare le départ et l'instant où les vitesses deviennent identiques (et ici égales à 100 km/h)

Sauf que ça peut être faux si il y a un changement de concavité dans la vitesse (l'accélération décroit à un moment, ce qui est tout à fait vrai sur les voitures où par le biais des changements de vitesse et du couple moteur disponible qui décroit on n'accélère pas de la même façon au début et à la fin.

C'est la différence typiquement entre un diesel et une essence, où le diesel va déposer sur place l'essence qui ensuite va rattraper le diesel. Il suffit d'imaginer les courbes de vitesse qui se croisent avant les 100km/h, chose tout à fait possible.

[Black Jack]

Sauf que ça peut être faux si il y a un changement de concavité dans la vitesse (l'accélération décroit à un moment, ce qui est tout à fait vrai sur les voitures où par le biais des changements de vitesse et du couple moteur disponible qui décroit on n'accélère pas de la même façon au début et à la fin.

C'est la différence typiquement entre un diesel et une essence, où le diesel va déposer sur place l'essence qui ensuite va rattraper le diesel. Il suffit d'imaginer les courbes de vitesse qui se croisent avant les 100km/h, chose tout à fait possible.

Benjamin,

Certes le problème posé par Nightmare est à interpréter.

Mais avec la phrase : "sachant que la voiture lourde a une accélération plus faible au démarrage et plus intense ensuite, le contraire pour la légère", tout est dit.

Si on veut évidemment modifier les conditions données sur les "formes" d'accélération, alors le problème est différent et il est alors possible que les courbes de vitesse se croisent avant les 100 km/h.

Il faudrait par exemple modifier la phrase de l'énoncé en :
"sachant que la voiture lourde a une certaine accélération, et que la légère a une accélération plus grande (que la lourde) pendant 1s, et ensuite plus faible (que la lourde) la seconde suivante et ensuite dans la seconde suivante plus forte (que la lourde)"
Là OK, tout est possible.

:zen: