Anemosys a écrit:Ok! Merci pour la réponse!
Quant à la démonstration en entier...Si elle est "expliquable" avec les notions de terminale, j'aimerais bien la lire...Mais sinon, c'est pas grave, j'aurai l'occasion d'aborder ça dans mes études supérieures je pense.
Je vais tenter de faire une démonstration à peu près lisible en TS...
On va donc considérer un point M qui décrit une trajectoire orientée que je vais pour l'instant considérer comme quelconque. J'attache à ce point M un repère mobile orthogonal F (
N,
T), repère de Frenet dont tu as l'habitude.
N est le vecteur de base normal et
T le vecteur de base tangentiel. J'utilise la convention physicienne de notation en gras des vecteurs.
Pour démontrer la formule d'accélaration, je vais introduire la notion d'abscisse curviligne sur une trajectoire orientée, qui est nouvelle pour toi j'imagine. s(t), l'abscisse curviligne est la portion de trajectoire qui parcoure M par unité de temps.
Dans le repère F, la vitesse de M s'exprime par
v(t) = ds/dt
T.L'accélération
a(t) = d
v(t)/dt. Je vais différentier cette expression:
a(t) = d
v(t)/dt = d^2(s(t))/dt^2*
T + ds/dt*d
T/dt (j'applique les règles classiques de dérivée vectorielle).
Or il faut savoir (et ça tu ne peux le savoir en term) que d
T/dt = d
T/ds * ds/dt et que, comme d
T/ds = (1/R)*
N, j'obtiens d
T/dt= (1/R)*ds/dt*
N.
Si je place cette valeur dans l'expression de l'accélération, j'obtiens finalement:
a(t) = d^2s(t)/dt^2*
T + (1/R)*(ds/dt)^2*
N Mon accélération présente donc une composante tangentielle et une composante normale. Dans cette équation, R représente le rayon de courbure local de la trajectoire. Je n'ai pas fait d'hypothèse sur la nature de la trajectoire.
Maintenant, je vais en faire une! Je vais dire que cette trajectoire orientée est circulaire. C'est à dire que R est constant.
Sur un cercle, l'abscisse curviligne devient ds = R*d(theta), si theta est l'angle de rotation du point M dans un repère orthogonal centré sur O, centre du cercle.
Je vais remplacer dans l'expression de
a(t) que j'ai obtenu ci-dessus la valeur ds par R*d(theta), ce qui me donne:
a(t) = R*d^2(theta)/dt^2*
T + (1/R)*(R*d(theta)/dt)^2*
N soit
a(t) = R*d^2(theta)/dt^2*
T + R*(d(theta)/dt)^2*
N Dans le cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme, le terme tangentiel s'annule car bien sur d^2(theta)/dt^2 = 0 et donc dans ce cas:
a(t) = R*(d(theta)/dt)^2*
N Tu sais sans doute que pour un mouvement circulaire v = R*d(theta)/dt et donc que d(theta)/dt = v/R. Si l'on remplace dans l'équation ci-dessus, on obtient:
a(t) = R*(v/R)^2*
N = (v^2/R)*
N, CQFD
L'accélération est normale à la trajectoire, orientée vers le centre du cercle et de module égal à v^2/R.
J'espère que cette démo est assez claire. Seuls les aspects relatifs aux abscisses curvilignes ne sont pas abordés en TS.
= v²/r 
(
/dt
)/dt, 
) +