Vecteurs !

[Doucra]

Bonjour :marteau:
Je tiens à préciser en espérant que vous croirez en ma sincérité que mon professeur de maths ne nous a strictement rien expliqué sur les vecteurs ( c'est un professeur qui a remplacé mon professuer initiale en cours d'année il ya 1 moi)
Merci d'avance!! car je panique!!!

Dans un repère orthonormé, on considère les points:
A(1;-2); B(4;4); C(13;-2) et I (7;-2)milieu de [AC]
1)Etude du centre de gravité G dans le triangle ABC
a/ Calculer les coordonées du vecteur BI (je lai fais lol)

b/ Que représente (BI) dans le triANgle ABC?
En écrivant la relation qui existe entre BI et BG ( vecteurs) , calculer les coordonnées de G.

2) Etude de l'orthocentre H du triangle ABZé
a/ La droite (BK) est la hauteur issue de B du triangle. Lire graphiquement son équation.

b/ Calculer le coefficient directeur de la droite (BC)

c/ Tracer la hauteur issue de A du triangle ( je l'ai fais loooooooooooooooooooooool ), on l'appelera d.
Sachant que, dans un repère orthonormé, le produit des coefficient directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à 1. Calculer l'équation de la droite d.

d/ Prouver que les coordonnées de H sont (4;2.5).

3) Etude du point d'intersection ;) des médiatrices du triangle.
a/ On a tracé sur la figure la médiatrice ;) de [AC] et lire graphiquement son équation ( c'est bon je l'ai fais )
b/ On veut calculer l'équation de la médiatrice ;)' de [BC] en utilisant la propriété caractéristique de la médiatrices d'un segment.
1° Soit M un point de coordonées ( x;y ). Calculer en fonction de x et de y les coordonnées des vecteurs CM et BM.
2° Calculer // vecteur CM // ² et // vecteur BM //²
3° Démontrer que l'équation de la droite ;)' est y = 3/2 de x - 47/4
4° Que représente, pour le triangle ABC, le point ;), intersection des droites ;) et ;)' ? Calculer ses coordonnées.
5° Calculer la mesure du rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

[maf]

Pourrais -tu nous dire ce que tu as réussi à faire ?

[Doucra]

je vais être franc, je nai aucune base, je vous promet que mon professeur nous a strictement rien expliqué et il nous a filé un dm sur le coup de la colere, vous êtes vraiment mon dernier espoir, je veux bien aider d'autre personne dont les problemes sont de mon niveau!
Merci de tenir comte de ma bonne fois.

[maf]

Ok.

1)a BI (3;-6)
1)b c'est une médiane
1)c on sait que le centre de gravité ou également appelé barycentre se trouve à 2/3 sur les médianes depuis les sommets (2/3 ; 1/3)

Une médiane c'est une droite passant par le sommet et le millieu du côté opposé à ce sommet

Donc : BG = 2/3 BI --> par Chasles : BG = BO + OG

donc ... BO + OG = 2/3 BI --> OG est ce que l'on cherche ...

par exemple, OB (4;4)

Donc, OG = 2/3 BI - BO mais -BO = OB --> OG = 2/3 BI + OB = 2/3(3;-6) + (4;4) = (2;-4)+(4;4) = (6;0)
Donc G (6;0)

[maf]

2)a si on regarde sur le dessin, on a B(4;4) et le point K(4;-2) d'accord ?

donc on remarque que la droite (BK) (que l'on écrit entre parenthèse pour notifier qu'il s'agit d'une droite) a l'équation cartésienne suivante :

x = 4

2)b le coefficient directeur est souvent appelé pente de la droite ...

Comment calcule-t'on la pente ... c'est "hauteur/base" --> -6/9 = -2/3

2)c la droite d part de A est arrive perpendiculairement à (BC) peut-être en dehors du segment BC, je sais pas, je n'ai pas fait le dessin ... mais c'est possible d'arriver en dehors du segment et de devoir tracer toute la droite (BC)

[maf]

Est-tu vraiment sur de ça :

le produit des coefficient directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à 1

C'est pas plutot -1 !!!!!

[Doucra]

Décidement on ne peut rien vous caché, c'est -1 tu as raison

Merci beaucoup deja :happy2:

[maf]

Donc comme d est perpendiculaire à (BC) on a :

pente d * pente (BC) = -1 --> pente d * (-2/3) = -1

--> pente d = 3/2

l'équation cartésienne d'une droite à la forme suivante : y = mx+h

mais on sait que le poitn A(1;-2) doit vérifier cette équation et que m = 3/2

-2 = 3/2 + h --> h = -7/2

donc l'équation de la droite y = x(3/2) - 7/2 --> 2y = 3x-7 -->

3x-2y-7 = 0

[maf]

2d) On sait que l'orthocentre est le point d'intersections des hauteurs.

Donc H est l'intersection de la droite (BK) et de la droite d

Les équations cartésiennes des droites :

x = 4
3x-2y-7 = 0

On sait que H doit être sur (BK) donc xH = 4
Mais on sait également que H doit être sur d -->

3(4) - 2yH -7 = 0 --> yH = 5/2 = 2.5 --> CQFD (ce qu'il fallait démontrer :-) )

[maf]

3a) la médiatrice de (AC) est une perpendiculaire à (AC) en passant par I, son équation cartésienne est : x = 7

3b) Voici une méthode qu'on aurait pu utiliser ... après je te fais celle demandée !

la médiatrice de (BC) est donc une perpendiculaire passant par le millieu de BC

Le millieu de BC
en x : (13-4)/2 + (xB) = 8.5
en y : (-2-4)/2 + (yB) = 1

(8.5;1)

la médiatrice, puisqu'elle est perpendiculaire à la même pente que d : 3/2

donc : même chose, y = mx+h avec m = 3/2 et le point (8.5;1) doit vérifier cette équation

1 = 25.5/2 + h --> h = -11.75

y = 3/2x - 11.75 --> 4y = 6x - 47 --> 6x-4y-47 = 0 est l'équation de la médiatrice de BC

[maf]

1° Soit M un point de coordonées ( x;y ). Calculer en fonction de x et de y les coordonnées des vecteurs CM et BM.

CM : (x-13;y-(-2)) --> (x-13;y+2)
BM : (x-4;y-4)

[maf]

2° Calculer // vecteur CM // ² et // vecteur BM //²

CM : (x-13;y-(-2)) --> (x-13;y+2)
BM : (x-4;y-4)

//CM//² = (x-13)²+(y+2)² = x²-26x+169+y²+4y+4 = x²-26x+y²+4y+173
//BM//² = (x-4)²+(y-4)² = x²-8x+16+y²-8y+16 = x²-8x+y²-8y+32

[maf]

3° Démontrer que l'équation de la droite ;)' est y = 3/2 de x - 47/4

On sait que les points qui sont sur la médiatrice d'un segment sont à la même distance des extrémités des segments

Donc : //CM// = //BM// --> //CM//² = //BM//²
-->
x²-26x+y²+4y+173 = x²-8x+y²-8y+32

0 = 18x -12y - 141

si on divise par 12

y = 3/2 x - 47/4 --> CQFD !!

[maf]

4° Que représente, pour le triangle ABC, le point ;), intersection des droites ;) et ;)' ? Calculer ses coordonnées.

Le point ;) est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC

On doit calculer l'intersection de ;) avec ;)'

Equations cartésiennes
;) : x = 7
;)' : y = 3/2 x - 47/4

donc ;) doit être sur ;) --> x;) = 7

mais également ;) doit être sur ;)' --> y;) = 21/2 - 47/4 = -5/4

;)(7;-1.25)

[maf]

5° Calculer la mesure du rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

Puisque le cercle passe par les points A;B;C on peut calculer la mesure du rayon du cercle circonscrit comme étant la longueur de ;) à B

//;)B//² = (7-4)²+(-1.25-4)² = 36.5625

Si on met à la racine carrée .. on obtient (puisque c'est un nombre positif, une mesure étant toujours positive) 6.0467

ET VOILA !! :++:

[Doucra]

c vraiment parfaitement expliqué, je te remercie!
par contre tu es sur que pour la 3)b) 25.5/2= 11.75 ?? psk sa fais 12.75! nn???

[maf]

1 = 25.5/2 + h

--> h = 1-25.5/2 = 1-12.75 = -11.75 (oublie pas le 1)