Vecteurs

[perduenmaths]

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas a faire:

Soit ABCD un parallélogramme non aplati.
On note C' le symétrique de C par rapport à D. Le point K est défini par AK = -2AB.
L est le centre de gravité du triangle ACC'.

1. Faire une figure (je fais la figure et mes points K, L et C sont alignés)

2. On désire prouver l'alignement des points K, L et C de quatre manières différentes.
a -Méthode 1 : exprimer dans la base (AB,AD) les vecteurs AL, AK et AC. En déduire la décomposition de KC et KL. Conclure. (Je l'ai faite cette question, et mes vecteurs KC et KL sont colinéaires).
b -Méth 2 : Se servir d'un point intermédiaire, à savoir J, milieu de [AC'] , et de considérations géométriques simples. Montrer l'alignement de J, L et C, puis celui de K, J et C. Conclure.
c - Meth 3 : déterminer dans le repère ( A; AB, AD) l'équation de la droite (CK) et montrer que l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point L.
d -Meth 4 : déterminer dans le repère ( A; AB, AD) les coordonnées des points K, L et C, puis des vecteurs KL et KC. Conclure.

merci de bien vouloir m'aider.

[siger]

Bonjour,

L centre de gravité de ACA' est au 2/3 de la mediane CD
2°
si J est le milieu de AC' alors CJ est une mediane du triangle ACA', ......
3)
C(1,1) K(-2,0)
d'ou (CK) = y = -x/3 + 2/3 coupe l'axe AD en L(0,2/3)
.....
4)
C(1,1), K(-2,0), L(0,2/3)
....

[perduenmaths]

Alors le 2- b) : Si J est le milieu de AC' alors CJ est une médiane du triangle ACC', et L est le centre de gravité de ACC' est au 2/3 de la médiane AD alors les points J, L, C sont alignés puisque les médianes d'un triangle sont concourantes.

Est-ce juste?

[perduenmaths]

je suis perdue j'y arrive pas...

[siger]

re

Qu'est-ce qi te bloque?
tu n'arrives pas a quoi?

[perduenmaths]

je n'arrive pasàa prouver que les points K, L, C sont alignés dans chaque méthodes..

[siger]

Re

O

2b: OK, l etant le centre de gravité les points L, K et C snt alignes
2c: quelles sont dans le systeme d'axes donné, les coordonnees de K, C et L ?
(rappel:dans e systeme (a,AB,AC) les coordonnees x et y de M sont données par la relation vectorielle AM = x*AB + y*AC)
.....

[perduenmaths]

pour le 2-c) , pour trouver l'équation de la droite j'ai calculer les cordonnés du vecteur CK à l'aide des points C(1;1) et K(-2;0) :
CK (xb-xa ; yb-ya) (-2-1 ; 0-1) (-3;-1) donc a=-1 et b=3
soit CK =-x +3y+c =0
pour trouver c je remplace x et y par les points de coordonnées du point C :
-1*1+3*1+c =0
2+c =0
c=-2
donc l'équation de la droite CK est -x+3y-2 =0
Mais pouvez-vous m'expliquer cette phrase svp -->"d'où CK = y = -x/3 + 2/3 coupe AD en L (0;2/3)"

[siger]

re

L est sur le segment AD qui dans le systeme (A,AB,AD) est l'axe des ordonnees defini par x= 0
donc la droite CK coupe AD en y defini par -(0)+3yL-2=0 d'ou les coordonnees de L(0,2/3)

[perduenmaths]

et 2- d) C(1;1), K(-2;0), L(0; 2/3) alors

KC (1+2 , 1-0) (3,1)
et KL (0+2, 2/3-0) (2, 2/3)

mais quelle conclusion en tirer?

[perduenmaths]

ah d'accord merci.
mais dans votre équation " -(0)+3yL-2=0" le L faut bien le mettre ou c'est une erreur ?

[siger]

re

2c
dans l'equation il vaut mieux eviter d'indiquer L (même si c'est vrai) car alors on suppose alors le probleme resolu
-(0)+3y -2=0 conduit a y = 2/3 pour le point d'intersection.....
la droite (KC) coupe AD en un point de coordonnees (0,2/3), donc en L .....

2d
KC (3,1)
KL(2,2/3)
ce qui conduit a KL = (2/3) KC en vecteurs donc K,C et L sont alignes