Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

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MathsetZinc
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Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 04 Déc 2022, 16:36

Bonjour à tous!

J'ai cet exercice à faire pour mardi, or je bloque à un endroit qui pose problème.£

Voici l'énoncé: https://zupimages.net/viewer.php?id=22/48/0ync.jpeg

pour la a: A, B et C alignés si et seulement si vecteurs AB et AC colinéaires.

On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AC

On trouve: AB(2; -2 ; -2) AC(-2 ; -2 ; -2)

Il n'y a pas de réel k permettant de passer de l'un à l'autre, donc AB et AC non colinéaires, donc les points A,B,C non alignés.

b: On cherche si AB et CD sont colinéaires.

AB(2;-2;-2) CD(3;1;-2)

Encore une fois il n'y a aucun réel k vérifiant AB=kCD , donc non colinéaires

Les droites AB et CD sont donc soit sécantes, soit non-coplanaires, mais comment savoir? Cela aurait été facile de le déterminer si elles avaient un point en commun, mais là nous n'avons aucune indication...

c: (EF) est parallèle au plan (ABC) si il existe des réels x et y tels que: EF=xAB+yAC

AB(2;-2;-2) AC(-2;-2;-2) EF(0;4;0)

on se retrouve avec:



Les deux dernières lignes sont impossibles, la droite (EF) n'est donc pas parallèle au plan (ABC), mais bien sécante à ce plan.

Le seul petit problème que j'ai donc, c'est pour savoir déterminer si les droites sont sécantes ou non coplanaires, si quelqu'un peut m'aider, cela serait super!

Merci d'avance :D



issoram
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par issoram » 04 Déc 2022, 18:17

Bonjour,

Avez-vous vu les équations paramétriques de droites?

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 04 Déc 2022, 19:16

Bonjour!

Oui, je suis en train de les faire, mais je ne vois pas ici comment les utiliser pour déterminer ceci

:)

issoram
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par issoram » 04 Déc 2022, 19:48

1) Écris les représentations paramétriques des droites (AB) et (CD)

Les droites sont soit sécantes, soit non-coplanaires, comme tu l'as bien remarqué.

2) Si elles sont sécantes, leur point d'intersection doit vérifier les 2 équations paramétriques..
Essaie de voir si c'est possible.

3) Conclus ;)

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 04 Déc 2022, 20:15

Re!

Alors voici ce que j'ai fait:

Représentation paramétrique de (AB):

Représentation paramétrique de (CD):

On résout:

En remplaçant dans tout le système t' par -2t+2, on arrive à:



On a donc:

\begin{cases}
t=0,5 \\
-2t+2=t' \\
t=1
\end{cases}

t ne peut pas valoir à la fois 0,5 et 1 donc impossible
Les droites (AB) et (CD) e sont donc pas sécantes
Elles sont non-coplanaires

Est-ce correct? Merci!!

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 04 Déc 2022, 20:18

Petite correction (ajout des balises LaTex);


issoram
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par issoram » 04 Déc 2022, 20:29

Oui,tout à fait!

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 04 Déc 2022, 20:52

D'accord, Merci Beaucoup!

Par ailleurs j'avais également un doute sur l'affirmation c), mais est-ce que j'ai réalisé est correct?

Encore merci :)

issoram
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par issoram » 04 Déc 2022, 22:48

Pour la question c, c'est la bonne démarche mais les coordonnées de

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 07 Déc 2022, 16:31

Re,

En effet: EF(0;-4;0)

donc on cherche des réels x et y tels que:



-2x-2y ne peut valoir à la fois 0 et -4.

Donc (EF) n'est pas parallèle au plan (ABC), donc forcément sécante à ce plan?

Merci! :D

issoram
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par issoram » 08 Déc 2022, 02:05

Les coordonnées de sont encore erronées.

MathsetZinc
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Re: Vecteurs: droites sécantes ou non-coplanaires?

par MathsetZinc » 10 Déc 2022, 19:17

Ah! Merci beaucoup, je prenais les mauvais points!

Merci pour ton aide!

 

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