Vecteurs DM 1ère S

[GusYnko]

Bonsoir !
J'ai en effet un DM de maths pour demain !

Le voici:
On considère un triangle ABC non aplati. On définit le point k par la relation vectorielle :

(Vecteur)AK - (Vecteur) BK + 2(Vecteur)CK = (Vecteur)0

Quel est le lieu des points K lorsque A décrit une droite fixée ?
On pourra faire des conjectures avec un logiciel de géométrie dynamique.

Je ne voisbpas comment faire, je comprend les vecteurs mais je suis bloqué merci de m'aider ;)

[chan79]

L'égalité donne:



On voit avec geogebra ou autre que (AK) passe par un point fixe.
Soit D le symétrique de B par rapport à C.


Pense à une homothétie

[Anonyme]

Bonjour,

Oubliez le homothéties, ce n'est plus au programme ni de première ni de terminale depuis un petit moment.

La droite décrite par K est parallèle à la droite décrite par A si vous avez fait la figure sur Geogebra

On peut montrer par exemple que si K et K' sont deux points correspondant à deux positions de A sur la droite que l'on peu noter A et A' alors vec(KK') et vec(AA') sont colinéaires.

[chan79]

Ah oui, tout fout le camp !
Voyons autrement alors.
En déplaçant A sur la droite d, on devine de (AK) passe par un point fixe.
Soit D le symétrique de B par rapport à C.
Soit E le point d'intersection de (BC) et de la droite d, que parcourt A.
Soit I le milieu de [DE].
Comme démontré plus haut, K est le milieu de [AD] puisque
Les droites (IK) et d sont parallèles (droite des milieux dans ADE).
K se déplace sur la parallèle à d passant par I.
Ensuite, il faut vérifier qu'à chaque point K sur cette parallèle, correspond un point A.
Il faut aussi envisager à part le cas où A parcourt une droite parallèle à (BC).