Valeurs de m pour une fonction fm

[utilisateura]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
A chaque nombre réel m, on associe la fonction fm définie sur ℝ par f m( x)=x^3+ m x^2+ m x+ 1
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la fonctions fm admet au moins deux extremums locaux.

[Mimosa]

Bonjour

Tu peux étudier le nombre de racines de la dérivée de .

[utilisateura]

La dérivée de f est 2x^3+2mx+1m
Puis le discriminent est 2m^2-12m
Et ensuite je suis bloquée

[annick]

Bonjour,
erreur sur le premier terme de ta dérivée.
Ensuite, tu étudie le signe de ton discriminent en m en fonction des valeurs de m, ce qui répond ensuite à ta question du nombre de solutions pour f'(x)=0.

[utilisateura]

Merci je n'ai pas fait attention, la dérivée est 3x^2+2mx+1m
Avec le discriminent 2m^2-12m on a deux solutions x1=0 et x2=6
Le tableau de signe est donc : x : -infini 0 6 +infini
signe de f' : + 0 - 0 +

[annick]

Erreur sur le discriminant, les solutions sont 0 et 3.

[utilisateura]

Etes-vous sur? car je refais mes calculs et je ne trouve pas 3 mais 6

[annick]

Pour une équation de la forme ax²+bx+c, le discriminant est de la forme b²-4ac.

Ici, tu as : 3x^2+2mx+m, soit un discriminant de (2m)²-4(3)(m)= 4m²-12m=4m(m-3) qui s'annule pour m=0 et m=3. D'accord ?

[utilisateura]

Merci, je m'étais trompée au (2m)^2 qui fait 4m^2 et je trouve bien 3

[utilisateura]

Maintenant que j'ai deux solutions : 0 et 3, je fais un tableau de signe puis de variation et je vois que la fonction f s'annule et change de signe en 0 et 6 donc la fonction admet deux extremums locaux : un maximum local qui vaut 0 et qui est atteint en 0 et un minimum local qui vaut 0 et qui est atteint en 0. Ce n'est pas possible?

[annick]

On ne te demande pas d'aller beaucoup plus loin que de prouver que ta fonction admet deux extremums locaux pour certaines valeurs de m :

"Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la fonctions fm admet au moins deux extremums locaux."

Tu as donc trouvé les deux valeurs de m (0 et 3) qui annulent delta ce qui indique la présence d'un maximum pour chacune de ces valeurs et ça suffit par rapport à la question posée.

[utilisateura]

Donc je fais mon tableau de signe et de variation et ensuite je dis que la fonction f s'annule et change de signe en 0 et 6. Je ne dis pas les extremums locaux. C'est bien ça?

[Ben314]

Salut,

On ne te demande pas d'aller beaucoup plus loin que de prouver que ta fonction admet deux extremums locaux pour certaines valeurs de m :
Tu as donc trouvé les deux valeurs de m (0 et 3) qui annulent delta ce qui indique la présence d'un maximum pour chacune de ces valeurs et ça suffit par rapport à la question posée.

Certes, on ne demande effectivement "pas d'aller beaucoup plus loin", mais il faudrait quand même répondre... à la question posée et pas à une autre qui n'a aucun rapport.
Ici, pour que la fonction fm admette au moins deux extremums locaux, ça signifie que la dérivée f' doit admettre deux racines, c'est à dire qu'il doit exister deux réels tels que, si on remplace x par un de ces deux réels dans la formule de la dérivée de fm, on obtient 0.

Et à froid, je vois franchement pas le rapport avec le fait que, si on remplace m par 0 ou 3 dans le discriminant Delta de la dérivée. on obtient 0.
Comment passe tu du "remplacer x par" à "remplacer m par" et surtout pourquoi est-ce dans le discriminant de f' que tu remplace des trucs et pas dans f' lui même ?

[annick]

Oupss !!! Effectivement, j'ai été un peu rapide et j'en suis désolée.

On va donc étudier le signe de delta en fonction des valeurs de m et voir quand delta est positif ce qui indiquerait qu'il y a deux valeurs de x qui annulent f'(x), donc la présence de deux extremums.

[utilisateura]

Je suis perdue, pouvez-vous m'éclairer?

[Carpate]

Le nombre de racines de indique le nombre de minimaux locaux de f
Pour avoir 2 minimaux locaux, il faut que le discriminant de f'(x) = 0 soit strictement positif soit pour
Tu peux vérifier cette condition en traçant sur ta calculette les courbes de et

[mathelot]

en plus les abscisses des extremums sont des valeurs de la variable au voisinage desquels la dérivée change de signe, Certes la dérivée s'annule mais ce qui importe c'est qu'elle change de signe

[utilisateura]

Donc pour trouver le nombre de racines je ne peux pas calculer mais seulement voir graphiquement?

[Lostounet]

Donc pour trouver le nombre de racines je ne peux pas calculer mais seulement voir graphiquement?

Il semble que tu sois perdue..!

Si si on peut faire le calcul.. as-tu compris la méthode expliquée plus haut?

[utilisateura]

Je ne sais plus quels calculs faire et quand m’arrêter.
De ce que j'ai compris il faut que je dérive ma fonction f et que cela me donne f'(x)= 3x2+2mx+m et que je ne doit pas dériver une seconde fois. Et qu'ensuite je dois trouver les nombres racines de x qui font que la dérivée soit égales à zéro. Ces nombres seront donc des extremums locaux qui me donneront les valeurs de m.