Valeurs de m pour une fonction fm

[utilisateura]

Donc pour trouver le nombre de racines je ne peux pas calculer mais seulement voir graphiquement?

Il semble que tu sois perdue..!

Si si on peut faire le calcul.. as-tu compris la méthode expliquée plus haut?

Je ne sais plus quels calculs faire et quand m’arrêter.
De ce que j'ai compris il faut que je dérive ma fonction f et que cela me donne f'(x)= 3x2+2mx+m et que je ne doit pas dériver une seconde fois. Et qu'ensuite je dois trouver les nombres racines de x qui font que la dérivée soit égales à zéro. Ces nombres seront donc des extremums locaux qui me donneront les valeurs de m.

[Lostounet]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
A chaque nombre réel m, on associe la fonction fm définie sur ℝ par f m( x)=x^3+ m x^2+ m x+ 1
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles la fonctions fm admet au moins deux extremums locaux.

Bon je vais t'expliquer petit à petit ce qui a déjà été dit plus haut (mais peut-être que ça a été trop rapide).

Ce qu'il faut comprendre, c'est que les forment une famille de fonctions: ce n'est pas une seule fonction, mais selon la valeur de m, tu as une fonction différente.
Par exemple si m = 1,
Si m = 2,

Comme chaque fois que tu choisis un m différent, tu obtiens une fonction différente. Pour une fonction donnée, comme par exemple si on veut trouver ses extrémas, on la dérive, non? On calcule sa dérivée et on repère en quels x on aurait . Pour toujours,
. En calculant le discriminant, on trouve donc aucune racine réelle ! C'est à dire quene s'annule jamais... donc pour m = 1, on n'a pas deux extrémums locaux (on en a aucun, en fait)

Par contre, si tu prends par exemple m = 4, on a
a pour discriminant on a donc deux racines réelles pour la dérivée, elle s'annule deux fois et passe du positif au négatif en ces deux racines: alors m = 4 est une valeur pour laquelle f_m donc f_4 possède deux extrémums locaux.

Maintenant que tu as compris comment ça marche pour des valeurs de m choisies (on regarde la dérivée pour voir si delta est strictement positif, donc deux racines), tu peux essayer de raisonner dans le cas général:
Supposons qu'on ait m un nombre pour lequel possède deux extrémas locaux.
Cela signifie que s'annule deux fois.


Comme pour tout m, , on doit avoir b^2 - 4ac > 0, soit

C'est-à-dire que tu dois résoudre l'inéquation qui va te donner les valeurs de m pour lesquelles le discriminant est strictement positif. Pour ces m là, tu auras deux "x" (qui dépendent de ton choix de m à chaque fois) qui annulent la dérivée de fm et en lesquelles celle-ci change de signe, c'est à dire deux extrémas locaux au moins.

[utilisateura]

Merci de vos explications, cela m'a beaucoup aidé à comprendre. Je trouve 0 et 3 donc les valeurs de m pour lesquelles la fonctions fm admet au moins deux extremums locaux sont entre ]-infini;0[U]3;+infini[.

[Lostounet]

Oui mais je ne comprends pas le "0 et 3"... D'ailleurs m=0 et m= 3 ne conviennent pas.
L'intervalle que tu as mis est correct.

Tu peux même donner en quels points on a les deux extrémas ! (en fonction de m)

[utilisateura]

Lorsque je résous (2m)^2-4x3xm=0 qui est égal à 4m^2-12m on trouve m=0 et m=3 lorsque le discriminent est égal à 0 car je n'arrive pas à résoudre 4m^2-12m >0. Ensuite je fais un tableau de signes puis de variations ce qui me donne l'intervalle ]-infini;0[U]3;+infini[. Je ne connais donc pas en quels points xm on a les deux extrémas.

[Lostounet]

Il faut que tu apprennes à résoudre des inéquations du second degré! C'est exigible dans le programme (de la seconde à la terminale) et ça tombe à chaque interro et au bac...ça te permettra de gagner beaucoup de points à chaque fois. En plus c'est presque toujours la même chose: on factorise l'expression et on regarde le signe de chaque terme selon x. Regarde des exercices corrigés en ligne il y en a plein.


Il vaut mieux que tu ne résolves pas l'équation =0 (qui n'a rien à voir...) mais l'inéquation. Les calculs peuvent se ressembler mais ça n'a rien à voir du point de vue raisonnement..

D'ailleurs si tu te forces à factoriser puis faire un tableau de signes ça te permet de comprendre d'où sort cet intervalle que tu as peut-être retenu par coeur. Ne retiens pas des choses du style 'en dehors des racines' ou je ne sais pas quoi c'est très nocif si on a du mal.

[utilisateura]

Pouvez-vous me montrer comment faire pour cette inéquation? Est-ce que c'est ça : (2m)^2-12m > 0 cela fait 4(m-3)m et ensuite on voit m=0 et m=3. Puis je fais un tableau de signes et de variations qui me donne un intervalle que j'ai trouvé ]-infini;0[U]3;+infini[ (que je n'ai pas appris par cœur).

[Lostounet]

Pouvez-vous me montrer comment faire pour cette inéquation? Est-ce que c'est ça : (2m)^2-12m > 0 cela fait 4(m-3)m et ensuite on voit m=0 et m=3. Puis je fais un tableau de signes et de variations qui me donne un intervalle que j'ai trouvé ]-infini;0[U]3;+infini[ (que je n'ai pas appris par cœur).

Oui, c'est cela.
Par contre "on voit m = 0 et m = 3" me laisse penser qu'il y a quelque chose qui n'est pas clair pour toi ? Rassure-toi quand je dis ça, ce n'est pas méchant, c'est juste que je veux m'assurer que tu comprends chaque étape.

En fait c'est exact. On souhaite trouver les valeurs de m tel que le produit
4m(m - 3) soit positif.

Donc tel que

Quand est-ce que le produit de deux nombres est positif ? Si tu multiplies deux nombres et que tu trouves un nombre positif, il y a deux cas possibles:

1) Soit ils sont tous les deux positifs en même temps, c'est-à-dire que 4m > 0 ET
Donc m > 0 ET m>3 (j'ai juste résolu chacune de ces inéquations simples)

2) Ou alors ils sont tous les deux négatifs en même temps, c'est à dire 4m < 0 ET
Donc m < 0 ET m < 3


On fait la synthèse dans chaque cas:
1) m > 0 et m > 3 revient à dire m > 3 tout simplement
2) m < 0 et m < 3 revient à dire m < 0 tout simplement

(Cette "synthèse" c'est pareil que de faire un tableau de signes)

En conclusion, m > 3 ou bien m < 0 sont les valeurs de m qui conviennent.
Comprends-tu?

[utilisateura]

Oui cela me réconforte sur ce que j'ai compris. Mais je ne suis pas obligée de l'expliquer car cela est logique avec un tableau de signe. Donc mon intervalle était donc juste.