Utiliser les droites remarquables du triangles

[cece89]

bonjour à tous !

je suis en seconde...

ABC est un triangle, on note dA dB dC les bissectrices respectives des angles BAC, ABC, et BCA

je bloque sur les deux premières questions ( il y en a 5) pourtant
j'ai bien appris le cours...

Monter que tout point P de la droite dA et intérieur au triangle ABC est à égale distance de la demi-droite AB et de le demi-droite AC

Soit I est le point d'intersection de dA et dB . justifiez alors que le point I est à égale distance de la demi droite CB et de la demi droite CA

merci d'avance...

[maturin]

alors il te suffit d'appliquer la formule du sinus.

La distance d'un point à une droite c'est la distance de ce point à son projeté orthogonale sur cette droite.
Donc si tu appelles H le projeté de P sur AB tu as APH triangle rectangle en H.
donc sin(PAH)=coté opposé/hypothénuse=PH/AP avec PH= distance de P à AB.

tu fais pareil avec H' sur AC et tu conclues.

pour la deuxième question elle découle de cette première en disant les meme conclusion pour les point P de dB par rapport aux cotés BA et BC.
Et tu dis que I appartient à dA puis I appartient à dB. tu vas trouver I à égale distance de AB, AC et BC !

[cece89]

merci pour votre réponse seulement je dois utiliser les droites remarquables du triangle...

[maturin]

ben les bissectrices sont des droites remarquables du triangle.
le fait que n'importe quel point de la bissectrice d'un est équidistant des deux côtés, à une certaine époque c'était la définition de la bissectrice. Comme tu dois le démontrer j'imagine que ta définition est l'égalité des angles d'un côté et de l'autre de la bissectrice.
Les hauteurs et médiatrice de ABC ne t'aideront pas.

Par contre dans ma solution PH est la hauteur de APB...

[yvelines78]

bonjour,

s'il faut démontrer, le théorème qui dit que tout point appartenant à la bissectrice est équidistant des côtés de l'angle ne doit pas suffire

si on prend un angle xAy, sa bissectrice (d) et un point de la bissectrice P avec ses projetés sur les côtés de l'angle J et K :
on a xAd=dAy
les angles AJP=AKP=90° , et donc APK=APJ
[AP] commun
les triangles AKP et AJP sont semblables et JP=PK

I est le point de concours de Da et Db, or dans un triangle les bissectrices sont concourantes en un même point appelé le centre du cercle inscrit
Dc passe donc par I
Dc étant bissectrice de ACb, tout point appartenant à Dc est équidistant de ses côtés (propriété redémontrée plus haut)