Triangle et droites remarquables

[mag03]

j'ai un probléme pour resoudre ce problème,

Je dois construire un triangle en connaissant :
-A un sommet du triangle ABC
-G le centre de gravité
-O le centre du cercle circonscrit

A chaque fois le point C ne se trouve pas sur le cercle.
Merci de m'aider.

[Ben314]

C'est un problème de construction... interessant.
Quelques "indics" :

1) Grâce à A et G, tu peut construire le milieu A' de [BC] (pourquoi/comment ?)

2) Grâce à O et A, tu peut construire le cercle circonscrit au triangle qui doit contenir B et C.

3) Si tu trace l'image de ce cercle par la symétrie centrale de centre A', ce nouveau cercle.... donc....

Edit : si tu connait la "droite d'euler" et ces caractéristiques, on peut ausi, connaissant O et G en déduire l'orthocentre H.
On peut alors construire la droite (BC) qui est orthogonale à (OH) et passe par A'...

[mag03]

merci pour l'info,

Ok pour A' avec AG=2/3AA'
le probleme c'est que A' est le milieu de BC et que C ne se trouve pas sur le cercle.

Pour la droite d'Euler pas de probleme pour trouver H GH=2GO et là H se trouve sur le cercle

[Ben314]

1) Ok pour A' avec
le probleme c'est que A' est le milieu de BC et que C ne se trouve pas sur le cercle ????.

Pour la droite d'Euler pas de probleme pour trouver H et là H se trouve sur le cercle ????

Je comprend pas trop ton raisonnement (les égalités vectorielles sont justes) ou alors, j'ai mal compris l'énoncé...

Pour moi, au départ, sur la feuille on a uniquement A, G et O placés de façon quelconques.
Donc dans le 1) je comprend absolument pas ton "C ne se trouve pas sur le cercle" : quel point C ? pour le moment, on n'a tracé que A,G,O,A' et le cercle de centre O passant par A.
Dans le 2) je ne vois absolument pas non plus pourquoi l'orthocentre devrait être sur le cercle de centre O passant par A ????

[Ben314]

La première construction que je te proposait est :

Au départ, on a A, G et O.
On construit A' tel que . On sait que A' doit être le milieu de [BC] (mais on ne sait pas où ils sont !!!!)
On construit le cercle L centré en O passant par A. On sait que B et C doivent être sur L.
On construit alors l'image L' du cercle L par la symétrie centrale de centre A'. C'est un cercle et, comme B et C sont sur L, leurs images par la symétrie centrale, c'est à dire C et B doivent être sur L'.
Conclusion : les points B et C doivent être sur L et sur L' donc ce sont les deux points d'intersection de L et de L' !!!

La deuxième est :
On construit A' tel que . On sait que A' est sur la droite (BC).
On construit le cercle L centré en O passant par A. On sait que B et C doivent être sur L.
On construit H tel que . On sait que H doit être l'orthocentre du triangle ce qui signifie que la droite (BC) doit être perpendiculaire à la droite (AH).
On peut alors construire la droite (BC) : c'est la droite passant par A' et perpendiculaire à (AH).
Les points B et C sont alors les intersections de cette droite avec le crcle L.

[mag03]

non la position des trois points A,G et O nous est donnée.

Je trouve bien A' pas de probléme,
Pour H erreur de ma part, je le trouve bien et pas sur le cercle.

je trace BC mais là A' n'est pas le milieu de BC.

Pour trouver A' je cherche le milieu de AG que je reporte à partir de G et je trouve A'.

L'erreur est là?