Urgent, DM !

[jude68]

Devoir à la maison - suites
Helge von Koch, mathématicien suédois, a décrit une des premières fractales : le flocon de Koch.
Construction du flocon de Koch :
;) Tracer un triangle équilatéral et diviser chaque côté en 3 parties égales. Chaque côté comporte un
segment central, qui sert de point de départ pour tracer à nouveau un triangle équilatéral dirigé
vers l’extérieur. Enfin, effacer les segments utilisés.
;) Diviser à nouveau en 3 chacun des côtés de la figure obtenue; on obtient un flocon.
1 Calcul du périmètre Pn de la figure obtenue à l’étape n (où n est un entier non nul), avec Ln la
longueur d’un segment à l’étape n et Sn le nombre de segments à l’étape n.
a. Calculer P1 avec un côté de 9 cm.
b. Exprimer Ln + 1 en fonction de Ln et Sn + 1 en fonction de Sn, pour tout entier n ³ 1.
c. En déduire une relation de récurrence entre Pn + 1 et Pn, puis exprimer Pn, en fonction de n
pour tout entier n ³ 1
d. Déterminer la limite de la suite (Pn).
2. Calcul de l’aire An du flocon à l’étape n.
a. Pour un flocon donné à l’étape n, combien de triangles ont été ajoutés à l’étape n + 1 ?
b. En remarquant que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a est égale
4
a2 3
, exprimer
n n A - A +1 , en fonction de n.
c. En calculant la somme des k k A - A +1 pour k compris entre l et n -1, c’est-à-dire
( ) ;)
-
=
+ -
1
1
1
n
k
k k A A , exprimer An en fonction de n pour tout entier n ³ 1.
d. Déterminer la limite de (An).
3. Le flocon de Koch est donc une courbe de périmètre infini et d’aire finie, ce qui fut très
remarqué à l’époque de sa découverte, en 1902.
Le flocon de Koch permet aussi de paver le plan en divisant les longueurs par 3 à chaque
étape.
Si le flocon principal est basé sur un triangle équilatéral de 9 cm de côté, quelle surface peut-on
recouvrir après 9 changements d’échelle ?

Je voudrais que vous vérifiez si mes réponses sont justes:
1.a) P1=27 cm
b) L n+1 = L0 * (1/3)n
S n+1 = S0 * 4n
c) P n+1 = P0 * 9n
d) + l'infini
2.a) S n+1 = Sn * 4n

Ensuite je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider svp ?

[LeJeu]

( )
-
=
+ -
1
1
1
n
k
k k A A

So sexy ...

[jude68]

So sexy ...

Pardon, le copier coller est défectueux
donc
n-1
Sigma (A k+1 - A k ) où k est en indice
k=1

[LeJeu]

Pardon, le copier coller est défectueux
donc
n-1
Sigma (A k+1 - A k ) où k est en indice
k=1

)

plus sexy ?

[jude68]

)

plus sexy ?

Oui, c'est sûr.. Un coup de main pour ce DM ? :we: :hein: