Une question sur les limites

[Darkwolftech]

Salut à tous, une petite question comme ça, au fil de mon cours sur les limites ...

On suppose que et sont deux fonctions continues, dérivables, strictement croissantes et telles que .

Est ce que :

est équivalent à pour suffisament grand ? :we:

[Robic]

Salut ! As-tu essayé avec des exemples ?

Posons f(x) = 2x et g(x) = x. Ces deux fonctions sont continues, dérivables, strictement croissantes et tendent vers l'infini ; de plus on a bien f'(x) > g'(x) à partir d'un certain x (en fait tout le temps). Pourtant le rapport f/g ne tend pas vers l'infini. Ceci prouve qu'il n'y a pas d'équivalence.

Reste à voir si entraîne que . À vue de nez ça ne m'étonnerait pas...

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Je crois que j'ai une démonstration. C'est juste une idée, donc il y a peut-être des erreurs, mais je suis confiant sur l'idée. Elle suppose que, de plus, f' et g' soient intégrables sur tout intervalle à partir d'un certain x (elles sont par exemple continues, ou réglées, ou autre selon la théorie de l'intégration...) (Erratum : la démonstration est fausse, comme l'a expliqué Skullkid ci-dessous.)

Montrons la contraposée : si à partir d'un certain x, alors ne tend pas vers .

Je note tel que f' et g' sont intégrables sur tout intervalle [ ; x] (j'ai supposé que ça existait), je note tel que (c'est l'hypothèse), je note tel que (ça existe car g est strictement croissante et tend vers + l'infini), et je note .

On a donc, pour tout :



(*)

où .



Or tend vers 1, car tend vers + l'infini. Par conséquent le rapport f/g ne peut pas tendre vers + l'infini.

Par contraposée, s'il tendait vers l'infini, alors on aurait .

Le point important est l'inégalité (*). Peut-être qu'il y a moyen de l'obtenir autrement qu'en passant par des intégrales, ce qui permettrait de supprimer l'hypothèse que f' et g' doivent être intégrables.

[Skullkid]

Bonsoir, sauf erreur, f(x) = x + sin(x) et g(x) = sqrt(x) fournit un contre-exemple (sans doute pas le plus élémentaire, mais bon).

Un souci dans ton raisonnement Robic c'est que la négation de "f'(x) > g'(x) pour x assez grand" ça n'est pas "f'(x) <= g'(x) pour x assez grand" mais "on peut toujours trouver un x aussi grand qu'on veut tel que f'(x) <= g'(x)". En l'écrivant proprement avec des quantificateurs pour virer les formulations douteuses, ça se voit plus clairement, mais j'ai la flemme là :p

[Robic]

Ah oui, tu as raison, j'ai été trop vite (ce que je craignais)...

Et je comprends ce qui se passe ! Si f/g tend vers l'infini, c'est en moyenne (en quelque sorte) que f' sera plus grand que g', mais il se peut que de temps en temps, f' soit plus petit, comme dans ton exemple. Et c'est lié à ta remarque sur la négation.

[Darkwolftech]

Euh oui je pensais plutôt à l'implication parce dans l'autre sens c'est archifaux ...
Quelqu'un a une idée de preuve ? Merci Robic pour ta tentative et dommage ! :lol3:

[Darkwolftech]

Oups Skull désolé j'ai zappé ton message ! C'est faux du coup zut (en même temps ça peut du coup expliquer mon absence de preuve :ptdr: )

Pour la culture comment t'as fait pour le contre-exemple ? Pas au pif je suppose ...

[Skullkid]

J'ai cherché une fonction qui croît "par sauts", i.e. à la dérivée alternativement "grande" et proche de 0. Une fois qu'on sait qu'on cherche une fonction dans ce goût-là, c'est assez naturel de regarder du côté des fonctions trigo pour la dérivée, puis d'intégrer et de faire les ajustements qui vont bien pour coller aux hypothèses.

[Darkwolftech]

Ah ok ... c'est malin ! Bravo et merci :lol3: