Trouver les nombres premiers p et q x² - px + q = 0

[nana75]

Bonjour, voici mon dm

Trouver les nombres premiers p et q tels que l'équation x² - px + q = 0 possède deux solutions entières et positives. Résoudre alors l'équation obtenue.

je suis en 2nde et nous n'avons rien vu de tout ca
j'ai regardé des videos mais je n'y arrive pas !
merci de votre aide

[Rdvn]

Bonsoir
Je trouve cet exercice scandaleux, en seconde, sans indication ,
voici la solution, il vous restera à rédiger...

D'abord voyez ceci (en particulier 3.2 page 8)

https://www.lyceedadultes.fr/sitepedago ... _degre.pdf

Donc, en supposant qu'il y a deux racines entières positives x' et x'' , on a alors :
x ' + x'' = p
x'.x'' = q

comme q est premier , ses seuls diviseurs entiers positifs sont 1 et q lui même
Si 1 est racine : 1^2 – p.1 + q = 0 soit 1-p+q =0 donc p-q=1
Ceci ne peut se produire que pour p=3 et q=2 puisque p et q sont premiers
(dans tout autre cas la différence est 0 ou bien vaut au moins 2, pour deux entiers premiers)
L'équation est alors x^2-3x+2=0, les solutions sont x'=1 et x''=2 (ceci à finir, avec la référence ci dessus, c'est facile)
Si q est racine : q^2-p.q+q=0 soit q(q-p+1)=0 donc q-p+1=0 , on retrouve le même cas
(on pouvait argumenter plus « finement » mais en seconde ça suffira comme ça)
Bon courage
Posez vos questions si il en reste