Les anti nombres premiers...

[Naax]

ca fait 15 jours que je bloque totalement sur mon devoir maison : les anti nombres premiers.
voila, je vous remet l'énoncé.
Les nombres premiers sont les entiers naturels les plus pauvres en diviseurs. Certains mathématiciens se sont interssé à leur contraire, les entiers les plus riches en diviseurs : les anti nombres premiers.
On note d(n) le nombre de diviseurs de l'entier naturel n, et Pi la suite croissante des nombres premiers.
Par définition, dire que l'entier naturel P est un anti nombre premier (ANP) signifie que les entiers naturels qui lui sont strictement inférieurs ont un nmbre de diviseurs positifs strictement inférieur au nombre de diviseurs positifs de P.
On note P=2^(alpha 1)*3^(alpha 2)*...*p^(alpha n) (où alpha 1, alpha 2, alpha n, sont des entiers naturels) la décomposition en produits de facteurs premiers de P.
1)a. verifier que les seuls ANP de la forme 2^(alpha 1) sont les entiers 2 et 2^2

voila donc la question. Je n'y arrive pas car je trouve que d(2)=2, d(2^2)=3 donc jusqu'ici tout va bien, mais comme d(2^3))=4, je ne comprend plus car apparemment il faut trouver qu'il n'y a QUE 2 et 2^2 qui sont des ANP.
Est-ce que j'ai mal compris la définition ????

[Fract83]

Hello,

Effectivement, y a un bleme...

Par definition, 8 est un ANP si et seulement si pour tout n _strictement_ inferieur a 8, tu as d(n)
Or, d(6))=4.

Donc, 8 n'est PAS un ANP !

Tu as compris le truc ? Le strictement inferieur de la definition est ici tres important !

Maintenant, essaye de demontrer le resultat de ta question.

Bonne journee.

[Naax]

ok je vois, je n'y avait pas pensé, merci !

donc je vais devoir prouver que pour tout n>2, n étant un entier naturel,
d(2^n)