Triangle rectangle ABC

[ouljan]

Bonjour!
j'ai un DM de maths que je n'y arrive pas à finir car je suis bloqué : voilà mon exercice:
Dans le triangle ABC rectangle en A, on appelle H le projeté orthogonal de A sur [BC]. On pose BC=a, CA=b, AB=c.

1) En calculant sinBAH^de deux façons différentes, montrer que BH =c²/a; en déduire CH.

2) Montrer que H est le barycentre du système de points (B;b²), (C,c²).

[Ericovitchi]

Montres que BAH est égal à ACB (ils ont même angle complémentaire)

Après c'est simple Sin (BAH) c'est BH/c mais aussi c/a

[annick]

Bonjour,

En te plaçant dans les triangles BAH et ABC, compare les angles BAH et BCA. Tu peux alors exprimer sin BAH de deux façons.
Tu égalises ensuite les deux expressions que tu trouves et tu dois obtenir le résultat de ta première question

[ouljan]

C'est bon si je dis ça:
Le triangle ABC est rectangle en A donc les angles HAB et HAC sont complémentaires

Le triangle ACH est rectangle en H donc les angles HAC et HCA sont complementaires
donc HAB^ = HCA^

mais HCA^= BAC^ , et HAB^= BAH^

donc BAC^= BAH^ ?
Pour montrer les deux calcules de sinBAH^?

[annick]

Tu as un petit problème quand tu dis HCA=BAC car BAC c'est l'angle droit !

Il suffit que tu t'arrêtes à HAB^ = HCA^

Ensuite tu calcules sin HAB dans le triangle HAB et sin BCA dans ABC. Puis tu égalises car ces angles sont égaux comme tu l'as démontré précedemment

[ouljan]

Et comment je démontre que H est le barycentre de (B;b^2) , (C;c^2) ?

[Ericovitchi]

Par définition "H est le barycentre du système de points (B;b²), (C,c²)" ça s'écrit comment ?

[ouljan]

H=bar{(B;b^2),(C;c^2)}
b^2HB+c^2HC=0
C'est ça ce que vous demandez?
Mais on peut pas dire ça parce que on doit démontrer que c le barycentre.

[Ericovitchi]

Oui c'est ça, il faut démontrer que b²HB+c²HC=0 ou b²HB-c²CH=0

Mais à la question d'avant tu viens de démontrer que BH =c²/a et CH=b²/a
donc b²BH -c²CH = ???

[ouljan]

b^2HB-c^2CH=0?
c'est ça j'ai as compris
On peux pas
Donc H=bar{(B;b^2),(C;c^2)}?

[Ericovitchi]

il suffit de remplacer BH et CH :
b²BH -c²CH = b² c²/a - c² b²/a = 0 donc H est bien le barycentre de B affecté de b² et C affecté de c². C'est tout simple.

[ouljan]

:we: waaa c'est vrai !! c'est simple merci merci beaucoup

[ouljan]

comment on a démontrer que CH = b^2/a?
je vois pas à quel moment j'ai démontré ça?

[Ericovitchi]

Tu es terrible toi, il faut vraiment qu'on te mâche tout.
C'était demandé dans la question 1 donc j'espérais que tu avais trouvé.

CH=a-BH=a-c²/a=(a²-c²)/a=b²/a

[ouljan]

Désolé !!
Mais en plus j'avais trouvé ça mais je voulais en être sur à 1OO%.
Merci beaucoup encore et encore

[ouljan]

Dernier service s'il vous plait on me demande de démontrer que I est le barycentre de {(A;a²),(B;b²),(C;c²)} ( I étant le milieu de [AH] )

c'est bien si je fait ça?
I est le milieu de [AH] donc IA+IH=0
relation de chasles IA+IB+BH=0
mas j'arrive pas à démontrer

[Ericovitchi]

Sers toi de la question d'avant. Tu cherches le barycentre de A affecté de a² , B affecté de b² et C affecté de c². Mais tu connais déjà le barycentre de B et C , c'est H (affecté de b²+c² , somme des poids) donc il ne te suffit plus que de montrer que H est le barycentre de A affecté de a² et de H affecté de b²+c²
C'est très facile. je te laisse chercher.

[ouljan]

Donc je dis que :
comme H=bar{(B;b^2),(C;c^2)}
H={(A;a^2),(H;b^2+c^2)}?
a²HA+(b²+c²)HH=0?
c'est impossible :mur:

[Ericovitchi]

Et si tu te rappelais que a²=b²+c², le possible le deviendrait peut-être :k2k:
Et puis c'est pas HH, c'est HI

[ouljan]

aaa oui le théorème de pythagore j'avais complétement oublier!
mais sinon le début c ca?