Triangle et fonction. [TS]

[Deluxor]

Bonsoir,

Voici un exercice sur lequel je bloque à la dernière question.

1) Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on considère le cercle T de centre O et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1;0) et soit A' le point de coordonnées (-1;0).
Par tout point H du segment [AA'], distinct de A et de A', on mène la perpendiculaire à la droite (AA'). coupe le cercle T en M et M'. On pose .
Calculer l'aire du triangle AMM' en fonction de .

-Fait.

2) Soit la fonction définie sur [-1;1] par . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan d'unité graphique 4 cm.

a. Etudier la dérivabilité de en -1 et en 1. En déduire les tangentes à la courbe C aux points d'abscisses -1 et 1. -Fait.
b. Dresser le tableau de variation de sur [-1;1]. -Fait.
c. Tracer la courbe C. -Fait.

3) Quelle est la nature du triangle AMM' d'aire maximale ? -Fait. Il est bien équilatéral ?

4) Justifier que l'équation admet exactement deux solutions a et b dans [-1;1] (avec a b). Déterminer b et donner, en justifiant, la valeur décimale approchée par défaut à près de a. -Là est le problème. Je bloque complétement. Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

Deluxor.

[Ben314]

Pour le début de la question 4), il te suffit de "lire" ton tableau de variation pour savoir combien l'équation f(x)=1 admet de solutions (ça te donne aussi une vague idée de où sont situées les solutions)
Pour la fin de la question, on ne te demande pas la valeur exacte de a, mais une approximation : si tu as une machine (ou un ordinateur) qui trace des courbes de fonctions et permet de faire des "ZOOM", c'est le moment de t'en servir.
Sinon, tu peut faire une "dichotomie" (si tu as vu ce que c'était...)

Par contre, on te demande la valeur exacte de b) et cela semble vouloir dire que b) doit être "racine évidente"...

Edit : tu peut par exemple tracer des courbes là (ou ailleurs...) :
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281-x%29*sqrt%281-x%5E2%29+from+x%3D-1+to+1

[Deluxor]

Il faut utiliser le théorème de bijection alors ? :)

[Ben314]

Oui, c'est bien ça.
Je t'ai mis un lien pour que tu vois la courbe dans mon précédent post (tu peut changer le x from ? to ? pour faire des "zooms")

[Deluxor]

Je ne comprends en fait pas avec cette courbe comment l'équation f(x)=1 admet deux solutions sur [-1;1].

[Ben314]

Résoudre (graphiquement) l'équation f(x)=1, ça veut dire chercher les x tel que le y correspondant (c'est à dire f(x)) vaut 1.
Or les points dont "le y vaut 1", ben c'est la droite horizontale d'équation y=1 et si tu regarde le dessin, la droite y=1 coupe bien la courbe en deux points (dont un super façile à définir)

Si tu veut "mieux" visualiser les points en question, tu peut tracer la fonction x->f(x)-1 car cette nouvelle fonction vaut 0 lorsque f(x)=1 et, graphiquemment parlant, chercher où une fonction s'annule, c'est chercher l'intersection de la courbe avec l'axe des x.

[Deluxor]

Merci! J'ai réglé cette question grâce au théorème de bijection.

Me reste une question.

Alors, on a la fonction : définie sur [-1;1].

Je dois dériver cette fonction. Pour définir le domaine de dérivation de la fonction, en étant rigoureux, dois-je seulement dire que :

--> est une fonction polynôme, donc dérivable sur , et en particulier sur [-1;1]

--> est une fonction polynôme, donc dérivable sur , et en particulier sur [-1;1]
est dérivable sur ,
Donc, par composée est dérivable sur [-1;1].

Enfin, par multiplication de deux fonctions dérivables sur [-1;1], f est dérivable sur [-1;1].


Ce raisonnement est faux, pouvez-vous me guider ?

[Anonyme]

est dérivable sur ,

c'est (R* + c-a-d R+ privé de 0)

Donc, par composée est dérivable sur [-1;1].

c'est ]-1,1[ (conséquence de la remarque précédente)

Donc avec cette méthode tu peux juste démontrer que f(x) est dérivable sur ]-1,1[ cela justifie d'ailleurs le fait qu'on t'a pose la question pour 1 et -1.

[Ben314]

Non, il y a une petite erreur :

est dérivable sur

La fonction n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale) donc ta fonction risque de ne pas être dérivable lorque ... (ce qui explique l'existence de la question 2)a) !)

Edit : Grilled...

[Deluxor]

Pourtant j'ai trouvé que f était dérivable en 1, et que f'(1)=0

[Anonyme]

Ok mais tu ne pouvais pas déduire cela de ton théorème .

[Deluxor]

Alors, en résumé, est-ce juste et complet ?

Alors, on a la fonction : définie sur [-1;1].


--> est une fonction polynôme, donc dérivable sur , et en particulier sur [-1;1]


est dérivable sur ]-1;1[.

Enfin, par multiplication, f est dérivable sur ]-1;1[.

De plus, on sait que f est dérivable en 1 (question précédente), donc f est dérivable sur ]-1;1]

[Anonyme]

Alors, en résumé, est-ce juste et complet ?

Alors, on a la fonction : définie sur [-1;1].


--> est une fonction polynôme, donc dérivable sur , et en particulier sur [-1;1]


est dérivable sur ]-1;1[.

Enfin, par multiplication, f est dérivable sur ]-1;1[.

De plus, on sait que f est dérivable en 1 (question précédente), donc f est dérivable sur ]-1;1]

J'ai pas fait la question 1). Je suppose alors que ta reponses pour la 1) est correcte dans ce cas ce que tu dis est vrai . :++: