Translation et rotation

[Ncdk]

Bonjour,

Je pars des définitions suivantes :
Soit un vecteur du plan. On appelle translation de vecteur , la transformation du plan telle qu'à tout point A on associe le point A' tel que :

Dans un plan, on appelle rotation de centre O et d'angle α la transformation qui à tout point A du plan associe le point A' tel que :




Je cherche à démontrer que :

La translation et la rotation conserve les longueurs, l'alignement, les mesures d'angles et les aires.

Comment je peux m'y prendre ?

EDIT : Pour les translations, si je me ramène à étudier un parallélogramme ça suffit comme preuve ?

[Ausecour]

Bonjour,

Ce que je ferais si j'étais toi, c'est écrire sous différentes fonctions l'évolution de la longueur, de l'angle alpha, et de l'aire.

Tu peux prendre des points d'un rectangle par exemple: B,C,D,E. Pour la longueur tu peux étudier la longueur du segment [BC] quand le point C translate.

Si dans ton équation tu trouves quelque chose du genre : ||BC|| = (xC + xu - xB)^2 + (yC + yu - yB)^2
Tu peux en déduire que la rotation d'angle alpha n'affecte pas la valeur de la longueur, et donc qu'elle est conservé dans le cas d'une rotation. Pour l'allignement je ne sais pas trop comment tu peux t'en sortir en revanche.

Bonne chance.

[Ncdk]

Salut,

Je voulais plutôt passer sans équation, je cherche des preuves sur internet mais en vain.

[Pseuda]

Bonjour,

Par exemple, pour la translation :
t(A)=A'
t(B)=B'
donc (en vecteurs) AA'=BB' (car définition de la translation) => AA'B'B est un parallélogramme => (en longueurs) A'B'=AB. Donc la translation conserve les longueurs.

Pour être rigoureux, il faut démontrer les 2 implications par un raisonnement géométrique.

Pour l'alignement, prendre 3 points alignés et leurs images. Pour les mesures d'angles, prendre 3 points qui forment un angle, puis leurs images. Et démonstration par des considérations sur les parallélogrammes.

[Ncdk]

Bonjour Pseuda.

Merci de ton aide, c'est bon j'ai vu, je me suis rattaché aux connaissances sur les parallélogrammes.
En revanche concernant les rotations, je suis bloqué. J'ai essayé de me servir de la symétrie axiale mais en vain. (En tout cas pour déjà montré qu'il y a conservation des longueurs)

[Pseuda]

Bonjour,

Pour les rotations, on peut toujours utiliser l'algèbre linéaire : les rotations sont des isométries, donc elles conservent la norme et le produit scalaire, donc les angles et l'alignement.

On peut aussi chercher dans le plan l'expression analytique d'une rotation, et en déduire ses propriétés.

Géométriquement, on peut établir successivement que la rotation conserve :

- les longueurs : si A'=r(A) et B'=r(B), alors A'B'=AB (les triangles OAB et OA'B' sont isométriques car ils ont le même angle entre 2 côtés de même longueur : OA=OA' et OB=OB')
- le milieu d'un segment (idem)
- donc les vecteurs : si (en vecteurs) AB=CD, alors (en vecteurs) A'B'=C'D' (via les parallélogrammes et les milieux)
- donc les angles (de vecteurs), l'alignement, le parallélisme.

Cela m'étonne que tu n'as rien trouvé sur internet.

[Ncdk]

Bonsoir,

Merci, c'est bon j'ai réussi à faire. Merci des conseils !

[Pseuda]

Bonjour,

Mes conseils sont tirés d'un livre de TS de 1992, quand les transformations étaient encore au programme du lycée !