Composée translation rotation

par **titine** » 05 Fév 2007, 11:53

Bonjour.
J'ai une question toute bête :
Dans un exo sur les complexes on me fait composer une translation et une rotation. J'obtiens une rotation de même angle mais de centre différent.
Comment puis je retrouver ce résultat en raisonnant uniquement géométriquement et surtout comment puis je construire le nouveau centre de rotation ?
Merci.

par **Quidam** » 05 Fév 2007, 15:04

Ben cherche s'il y a un point invariant !

par **titine** » 06 Fév 2007, 18:12

J'ai réussi à construire le centre de la nouvelle rotation mais je n'arrive pas à démontrer que r o t est une rotation ...

par **yos** » 06 Fév 2007, 18:21

Bonjour.
Tu peux décomposer r et t en deux réflexions et tu peux imposer que la même réflexion intervienne en seconde position dans r et en première position dans t :

, donc

.

par **Belhaouane** » 06 Fév 2007, 18:50

tu peux aussi répondre ainsi :
r est un déplacement d'angle [téta]
t est un déplacement d'angle nul
r o t c'est la composée de deux déplacements dont la somme des angles est égale a [ téta]

donc r o t est un déplacement d'angle [téta]
Comme [téta] différent de 0[2pi] => donc r o t est une rotation d'angle [téta]

si tu arrive a trouver un point invariant !! ton travail est terminé :d

par **titine** » 07 Fév 2007, 10:12

yos a écrit:Bonjour.
Tu peux décomposer r et t en deux réflexions et tu peux imposer que la même réflexion intervienne en seconde position dans r et en première position dans t :
, donc .

Comment démontre t on qu'une translation et une rotation peuvent toujours se décomposer en 2 réflexions ?

par **fahr451** » 07 Fév 2007, 10:43

bonjour

il vaut mieux partir à l'envers

on compose deux réflexions

deux cas :

les deux droites sont sécantes :
l'intersection I est point fixe
on montre que la composée est une rotation de centre I d'angle , le double de celui des droites (fais un dessin prends un point M quelconque et regarde ses images successives M' et M'' ça se "voit bien")

les deux droites sont parallèles:

on montre que la composée est une translation d e vecteur orthogonal aux droites et de norme le double de la distance entre les droites ( dessin)

ensuite pour décomposer translation et rotation :
si on part d une translation on peut prendre arbitrairement une réflexion de droite orthogonale au vecteur , l 'autre réflexion sera imposée

si on part d une rotation de centre I 'angle théta on peut prendre arbitrairement une réflexion de droite D passant par I , l autre réflexion sera imposéé (droite D' passant par I et angle (D,D') = théta/2)

par **titine** » 07 Fév 2007, 11:51

Merci beaucoup.
Pour la translation j'avais trouvé, mais c'est la rotation qui me posait problème ...

N'y a t il pas d'autre moyen de démontrer que la composée d'une translation et une rotation est un rotation ?

par **fahr451** » 07 Fév 2007, 12:18

ce qu ' a proposé yos est (quelqu un en douterait-il?) est optimal.

Composée translation rotation

composée translation rotation

re

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