Transformation du plan

[snoopye68]

Bonjour à tous,

J'ai un exo de maths à résoudre (c'est un qcm Vrai /Faux) ou il faut justifier ses réponses.
Voici ce que je pense répondre, mais j'ai des gros doutes sur certains trucs... :hum:

L'énoncé :

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. On considère la transformation f qui au point M (x,,z) associe le point M'(x',y',z') tel que :
x' = -2x+2z+1
y' = 3x-3y-1
z' = 8x-6y-2z


Soit J l'ensemble des points invariants par f.

Question 1 : J est réduit à un point (V/F?)
Ma réponse: Vrai le point invariant est tel que
x =-2x+2z+1
y=3x-3y-1
z=8x-6y-2z

J'ai trouvé J( 0; 1/4 ; -1/2 )

Question 2 : J contient une droite (V/F?)
Ma réponse : Faux car J est un point...(??)

Question 3 :la droite £ passant par A(3,2,4) et de vecteur directeur u (1,1,1) vérifie f(£) inclue dans £ (V/F?)
Ma réponse : ouille, ça se gate... :triste:
J'ai écrit l'équation de la droite £ : j'ai trouvé x+y+z-9 = 0
A partir de là j'ai cherché 2 points passant par cette droite, par exemple C(1,1,7) et D(2,2,5)
J'ai calculé C' et D' par la transformation f, j'ai trouvé alors:
C'(13,-1,12) et D'(7,-1,-6)
Puis ensuite, j'ai vu que C' et D' n'appartiennent pas à £ donc j'en déduis que f(£) n'appartient pas à £

Mais j'ai un doute sur ce que j'ai fait...

Dernière question : f est une homothétie (V/F?)Ma réponse : j'en sais rien du tout, j'aurai tendance à dire que non car une homothéthie se déterminerai ici par (en vecteurs) JM = kJM', ce qui ne semble pas être le cas ici...

[Flodelarab]

Bonjour

Beaucoup de choses à dire.

1) Tu t'es trompé dans le calcul des points de J.
2) Je trouve aussi un unique point invariant.
3) x+y+z-9 = 0 est une équation de plan et non une équation de droite.
4) Utilise le vecteur directeur de la droite pour donner les coordonnées d'un point en fonction d'un unique paramètre que nous appelerons t. t appartient à l'ensemble des réels.
Puis remplace dans ta formule de transformation pour trouver l'image du point.
Que remarque tu ?
L'image appartient-elle à la droite ?
Appartient-elle à J ?
5) Prouve le. (un simple contrexemple suffit.)