Transformateur linéaire et les n-uples

[Abuj]

Bonsoir,

Je comprends pas du tout ce genre d'exercice, c'est du chinois pour moi , je ne sais même pas par où je dois débuter...



Merci pour vos explications

[bolza]

Bonjour,

Je ne sais pas si on peut remplacer le mot "transformateur" par "application",
mais en gros on te dit que l'image de (1,0) par le transformateur est (3,7)
et que l'image de (0,1) c'est (2,3).

Dit autrement tu as une espèce de fonction f tel que
f(0,1)=(3,7) et f(1,0)=(2,3).

Or il se trouve que (0,1) et (1,0) forment une base de R².
et donc comme f est en plus linéaire tu peux en déduire l'image par f de n'importe quel vecteur
de R².

Tu vois comment faire ?

[Abuj]

Bonsoir Bolza,

Là où je bloque c'est la méthode à utiliser pour le faire, je vois pas trop comment faire l'exercice.

Tu veux pas me montrer un exemple, en te basant sur mon exercice ? (tu modifies certains chiffres)
j'aimerais bien voir les étapes que tu fais ainsi j'essayerais d'assimiler tout ça et puis je ferais mon exercice seul car j'ai un paquet d'autres exercices du même style...

Merci

[bolza]

f est linéaire ça signifie que :

a) pour tout "n-uplet" x et y, f(x+y) = f(x) + f(y)
b) pour tout réel r et "n-uplet" x, f(r * x) = r * f(x)

Le a) dit que pour connaître f(x+y) il suffit de connaître f(x) et f(y).
(tu connais f(1,0) et f(0,1))

Le b) dit que pour connaître f(r*x) il suffit de connaître f(x).
Par exemple si f(3,4) = (5,6) alors f(6,8)=f(2*(3,4)) = 2* f(3,4) = 2 * (5,6) = (10,12).

[Abuj]

Si je comprends bien, il faut pas prendre en considérations les n uples (3,7) et (2,3) dans l'exercice ?
l'application f qui est (1,1) c'est une addition entre x et y

Je cale un peu sur f(r*x)
r ça équivaut à 2 ?
puis tu fais 2 *1 et encore 2 * 1 ? qui est égal à (2 , 2)

[bolza]

Non,

Ici tu as x=(0,1) et y=(1,0)
et donc f(x+y) = f((0,1)+(1,0)) = ....
d'autre part f(x+y) = f(x) + f(y) = f(0,1) + f(1,0) = ...
et donc ...

[bolza]

Pardon,
je viens de me rendre compte qu'il était peut-être maladroit de ma part d'utilisé les lettres x et y.
Ici ce sont des lettres que j'ai utilisées pour nommer des vecteurs inconnus. les lettres u et v auraient sans doute
été plus judicieuses. Ici x et y n'ont rien à voir avec les coordonnées x et y d'un vecteur, j'ai fait un mauvais choix dans le nom de mes variables ^^.

[Ben314]

Éventuellement, un truc pour "néophyte", c'est des majuscules pour les vecteurs et des minuscules pour les scalaires (c'est moins long à écrire que les flèches au dessus...)

[Abuj]

Non,

Ici tu as x=(0,1) et y=(1,0)
et donc f(x+y) = f((0,1)+(1,0)) = ....
d'autre part f(x+y) = f(x) + f(y) = f(0,1) + f(1,0) = ...
et donc ...

Bolza,

Merci pour tes explications, je pense avoir compris les 3 premières lignes, je ne savais pas que c'était ce type de raisonnement qu'il fallait utiliser... Par contre que veux-tu dire par "et donc" ? Y a encore un truc à mettre?

[bolza]

^^ et donc f(1,1) = ...

Montre nous tes calculs, on pourra te dire si c'est bon