Trajectoire au billard 1ere S

[Ilinka]

Je suis complètement perdu pour cet exercice, il faut utiliser les vecteurs, les équations de droites et les équations du second degré:
Le plateau ABCD d'un billard est un rectangle de longueur 200 cm et de largeur 100 cm. On munit ce plateau d'un repère orthonormé d'origine A et tel que le point B a pour coordonnées (20;0) ; le point C, (20;10) et le point D, (0;10). On place une boule au point E(1;8) et on cherche la position du point F sur le segment [AB], pour que la boule entre dans le trou situé en A, après avoir rebondi sur les bandes [AB], {BC] et [CD] .
La balle étant frappée sans effet: elle suit une trajectoire rectiligne entre deux rebonds et après chaque rebond, sa trajectoire est symétrique à celle précédant le rebond par rapport à la perpendiculaire au côté percuté.
(j’espère que la photo s'est mise)

On note F(a;0) le point d'impact de la boule avec les côté [AB], a étant un réel de ]1;20[.
1)a. Déterminer les coordonnées du symétrique E' du point E par rapport à la droite d'équation x=a.
J'ai trouvé E'(2a-1;8)
b. Justifier que la droite (FE') a pour équation : -8x+(a-1)y+8a=0
Je l'ai également fait
c. Déterminer les coordonnées du point G, intersection des droites (FE') et (BC), puis vérifier que ce point appartient au segment [BC].
C'est ici que je bloque j'ai trouvé l'équation de BC, qui est, d'après moi, x-20=0, et j'ai commencé à faire un système avec cette équation et l'équation de (FE') en utilisant la substitution, mais je bloque complètement pour trouver y, à cause de a. En regardant la figure je vois bien que les coordonnées de C sont (20;5) mais je ne trouve jamais y=5.. Si vous pouviez me débloquer ce serait très gentil.

2)a. Justifier que, après avoir rebondi sur le côté [BC], la boule suit une trajectoire parallèle à la droite (EF).
Là je sèche aussi, je ne sais pas quoi faire.
b. Déterminer une équation de la droite D, parallèle à (EF) et passant par G.
Là pareil si vous pouviez me débloquer le reste pourra suivre (car oui, ce n'est pas fini).

Merci d'avance au personne susceptible de m'aider.

[Ben314]

Salut,
Le , tu continue à faire comme précédemment, c'est à dire à le considérer comme "connu", c'est à dire à donner des réponses qui dépende de (les coordonnées de F et l'équation de FE' dépendent déjà de ).
Bref, dans tu substitue effectivement ce qui donne qui donne (qui dépend bien sûr de et n'est sûrement pas systématiquement égal à 5) donc G a pour coordonnées

Par contre ensuite, l'énoncé est faux (ou alors très mal formulé) : le point tel qu'on vient de le calculer n'est pas forcément sur le segment [BC]. Pour qu'il soit effectivement sur [BC], il faut que le y trouvé à la question précédente soit entre 0 et 20 et ce n'est pas forcément le cas.
En particulier, il me semble complètement évident que, si est à peine plus grand que 1, alors ça signifie qu'on vise "quasiment plein sud" donc que ça va rebondir "quasiment plein nord" et que coté suivant sur lequel va taper la boule ça sera [CD] et pas [BC] (et dans ce cas, elle va même faire pas mal d'aller retour entre [AB] et [CD] avant de finalement taper [BC])
Bref; à mon avis, la question est à remplacer par "pour quelles valeurs de le point G est il situé sur le segment [BC] ?"

Pour le 2)a) ce qu'il y a de "caché" derrière, c'est la composée de deux symétries orthogonales, mais je pense pas que ce soit de ton niveau comme argument.
Donc on va le faire plus "à la main" : Sur ton dessin, note (par exemple) l'angle EFA.
Que vaut (en fonction de ) l'angle BFG ?
L'angle FGB ?
L'angle CGH (où H est le point "suivant" G où la boule rebondit sur [CD]) ?
L'angle entre la droite (GH) et la parallèle à [AB] passant par G ?

Pour le 2)b), idem, je sais pas trop ce que tu as vu, mais si l'équation de la droite (EF) tu l'écrit sous la forme plus usuelle au Lycée y=px+q, alors les droites parallèle à cette dernière sont celle ayant une équation de la forme y=px+? (c'est à dire la même pente) et tu as juste à trouver ce qu'il faut mettre comme ? pour que la droite en question passe effectivement par G [bien entendu, là dedans, TOUT dépend de : le p, le q et le ?]

[Ben314]

Sinon (et si ça t'amuse), pour ce type de problème, c'est infiniment plus simple de commencer par "recopier" de multiples billards "virtuels" (par symétrie) de façon à avoir le point A' correspondant au "point d'arrivé" de la trajectoire. On trace alors la droite EA' et on a tout sous les yeux.

Et, face à un vrai billard, c'est bien évidement comme ça qu'il faut faire pour faire un "trois bandes" : essayer de visualiser au mieux où est le "point fictif" A' obtenu après les diverse symétries (mais il faut que la pièce dans laquelle est le billard soit assez grande) puis on vise en direction de A'.

[Ilinka]

Salut,
j'ai trouvé y=(-8a+160)/(a-1), est ce juste ?
BFG=FGB=CGH=CHG=teta ?
Par contre pour la 2)b) je pensais qu'il fallait utiliser une équation de la forme ax+by+c=0, j'ai donc trouvé le milieu de [EF] --> M(1+a/2;4) pour avoir la médiatrice ME qui sera aussi le vecteur normal de (EF) et de D (puisqu'elles sont parallèles) --> (a/2;4) d'ou j'ai trouvé une équation pour D: (a/2)x+4y-((20a-20)/2)=0 je pense m'être trompé

[Ben314]

j'ai trouvé y=(-8a+160)/(a-1), est ce juste ? <= OUI
As-tu cherché à quelle condition (sur a) le point G est bien sur le segment [BC] ?
BFG=FGB=CGH=CHG=teta ? <= NON
Par symétrie (par rapport à la perpendiculaire en F à (AB)), tu as bien BFG=EFA=theta, mais ensuite, pour passer à FGB, il faut dire que la somme des angles du triangle (rectangle) FBG vaut 180° donc BFG+90°+FGB=180° et donc FGB=90°-BFG (ou Pi/2-BFG en radian). Continue pour trouver CGH puis CHG.
Par contre pour la 2)b) je pensais qu'il fallait utiliser une équation de la forme ax+by+c=0, j'ai donc trouvé le milieu de [EF] --> M(1+a/2;4) pour avoir la médiatrice ME qui sera aussi le vecteur normal de (EF) et de D (puisqu'elles sont parallèles) --> (a/2;4) d'ou j'ai trouvé une équation pour D: (a/2)x+4y-((20a-20)/2)=0 <= NON
Si tu préfère (par rapport à ce que je t'avais préconisé), tu peut passer par les vecteurs normaux, mais par contre, ça ne sert à rien de chercher les coordonnées du milieu de [EF].
Le vecteur EF a pour coordonnées (a-1,-8) donc un vecteur qui lui est orthogonal est le vecteur de coordonnées (8,a-1) [un orthogonal de (A,B) est (-B,A)]. Ce vecteur est donc un vecteur normal de le droite (EF) et donc aussi de la droite (GH) ce qui signifie que cette dernière à une équation de la forme 8x+(a-1)y+?=0 et il reste à trouver ? de façon à ce que cette droite passe par le point G de coordonnées ( 20 ; 8a+160)/(a-1) )

[Ilinka]

D'accord merci beaucoup, j'y retravaillerais demain, en espérant y arriver !

[Ilinka]

Rebonjour @Ben314 êtes vous connecté ?

[Ilinka]

Par symétrie (par rapport à la perpendiculaire en F à (AB)), tu as bien BFG=EFA=theta, mais ensuite, pour passer à FGB, il faut dire que la somme des angles du triangle (rectangle) FBG vaut 180° donc BFG+90°+FGB=180° et donc FGB=90°-BFG (ou Pi/2-BFG en radian). Continue pour trouver CGH puis CHG.
je ne vois pas comment trouver les mesures des angles j'ai essayé pendant environ 1h30 sans comprendre comment faire, en fait je ne vois pas en quoi cela pourrait répondre à la question.... Pouvez vous m'éclairez sur le sujet ?
Le vecteur EF a pour coordonnées (a-1,-8) donc un vecteur qui lui est orthogonal est le vecteur de coordonnées (8,a-1) [un orthogonal de (A,B) est (-B,A)]. Ce vecteur est donc un vecteur normal de le droite (EF) et donc aussi de la droite (GH) ce qui signifie que cette dernière à une équation de la forme 8x+(a-1)y+?=0 et il reste à trouver ? de façon à ce que cette droite passe par le point G de coordonnées ( 20 ; 8a+160)/(a-1) ) <-- j'ai donc fais 8x+(a-1)y+c=0 or G(20;(-8a+160)/(a-1)) appartient à D: 8x20+(a-1)x((-8a+160)/a-1)+c=0 --> c=-160-(a-1)x((-8a+160)/a-1) est ce possible ?