Théorème de Varignon

[mathieu38150]

Bonjour pas mal connait le quadrilatère de Varignon mais moi je bloque.
Voici l'énoncer :
Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On note P le milieu de [AB], Q le milieu de [BC], R le milieu de [CD] et S le milieu de [AD]. On note I l'intersection des diagonales du quadrilatère.
Quelle est la nature de PQRS ? Le démontrer ?
J'ai déjà calculer les coordonnées des points. Soit D(0;0) A(0;1) C(1;0) B(a;b) S(0;1/2) R(1/2;0) P(a;p) Q(q;a) je ne suis pas sur pour les deux dernières.

Néanmoins je bloque.
Pouvez vous m'aider svp merci d'avance
Mathieu

[Ben314]

Salut,
Avant de t'aider dans la preuve que tu as commencé, je me sens obligé de te signaler qu'il y a une preuve élémentaire du résultat (niveau collège) :
Si tu applique le théorème des milieux dans ABC tu en déduit que (AC)//(PQ).
De même dans ACD tu en déduit que (AC)//(RS) et donc (RS)//(PQ)
Idem avec les triangles BCD et DAB donne (QR)//(BD)//(PS) donc PQRS est un parallélogramme.

Bon, revenons a la méthode que tu as employé (et qu'a mon avis l'énoncé t'a imposé) consistant à utiliser le repère
Les coordonnées que tu donne pour D,A,C,B,S,R sont correcte, mais pour P et Q, ce ne sont pas les bonnes.

Pour P par exemple, vu que tu as déjà les coordonnées de A et B (celle de B en fonction de a et b) tu doit pouvoir donner celles de P sans avoir besoin d'introduire une nouvelle lettre, c'est à dire les donner en fonction de a et b uniquement.