Un théorème de spé

[Rebelle_]

Hello tout le monde =)

J'ai un petit problème avec un théorème que nous venons de voir en spé.

Théorème.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2. L'entier admet la décomposition suivante, unique à l'ordre des facteurs près :

où les sont des entiers premiers et les des entiers naturels.

Démonstration.

On admet l'unicité. Puisque n est supérieur ou égal à 2, il admet un diviseur premier tel que
On a donc avec
Si alors est vrai et est premier.

Si est différent de 1 alors admet un diviseur premier et avec

De même, si on continue jusqu'à avoir et avec tel que dans le théorème.

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Ma question : pourquoi ne s'intéresse-t-on pas du tout aux qui font pourtant bien partie du théorème ?
Ils sont ordonnés de la même manière que les , donc je devrais avoir , , ... non ?

Merci de votre aide ^^'

Bonne fin de journée à tous

[Arnaud-29-31]

Coucou Juliette,

La suite dans l'énoncé et dans la démonstration ne sont juste pas les même dans le sens où dans la démo, on peut avoir des égaux alors que dans l'énoncé ils sont deux à deux distinct.

Ta démo peut amener à dire que avec des entiers premiers.
Et en regroupant les égaux on en vient à dire que () avec des entiers premiers deux à deux distincts.

[Rebelle_]

Coucou gros sushi

Ah oui je vois mieux, c'est bon j'ai compris merci

Du moment que j'y suis, tu peux vérifier ce que j'écris après ? ^^'
Nous sommes supposés trouver la bonne formulation pour demain matin :/

Si alors les diviseurs positifs de s'écrivent tels que où

[Arnaud-29-31]

Voui ca m'a l'air pas mal.

[Rebelle_]

Ouki :)

En fait c'est un théorème barbare mais les applications sont super faciles :D J'aime ce genre de théorème, tu as l'impression d'être trop forte, mais non xD 'Fin bref, je me comprends ^^'

[arnaud32]

pour l'unicite
Si
pour tout i divise donc il existe tel que
et c'est vrai pour les aussi vis a vis des
tu en deduis que
ca te donne entre autre que l=k
et tu as
divise n et les p_i etant premiers entre eux tu as divise donc
tu fais pareil dan l'autre sens et tu as

[Nightmare]

Hello,

si tu veux faire apparaître dans ta preuve les exposants de la décomposition, tu peux la formuler ainsi.

On part de notre entier n, on le divise un maximum de fois par le premier nombre premier, 2, et il existe alors deux entiers et k tels que avec k impair, (éventuellement, si n est lui même impair).

On recommence avec k, et avec le deuxième nombre premier, 3, de même, on peut écrire avec non divisible par 3 (et encore une fois, éventuellement si k n'est pas divisible par 3). etc... on continu jusqu'au ième et dernier nombre premier inférieur à n.

Au final on obtient que et on peut évidemment retirer du produit tous ceux dont l'exposant est nul.

Cette démonstration n'est qu'une illustration de la méthode qu'on emploie lorsqu'on veut décomposer un nombre en facteurs premiers.

[Rebelle_]

Ah d'accord je vois bien ! En fait ta démonstration a aussi l'avantage de justifier clairement l'application qu'on fait de ce théorème :)
Merci pour les précisions !

Arnaud32, je t'avoue que j'ai un peu de mal à suivre toute la démonstration, je la relirai ce week-end à tête reposée :/ Merci tout de même :)

[Nightmare]

Si tu cherches les conséquences de ce théorème, je dirais que la plus importante, et c'est peu dire, est qu'il y a une infinité de nombres premiers!

Sinon, on peut voir assez intuitivement pourquoi ce théorème est "puissant" : Il dit fondamentalement qu'on peut décomposer tout entier en produit d'entiers beaucoup plus "simples". On voit bien que si on a la possibilité de décomposer un objet en objets plus simples, son étude se révélera a fortiori plus facile. Ce phénomène de décomposition ne se retrouve pas que chez les entiers, plus généralement, dans d'autre ensembles de nombres qui vérifient certaines propriétés, on a cette décomposition. Et sans parler de "nombre", il est courant de vouloir par exemple décomposer des ensembles (structurés) en des ensembles dont la structure est plus amicale.

J'espère que tu vois un peu mieux le théorème sous le bon angle. J'aime essayer de faire avoir un oeil mathématique à une littéraire, c'est un petit challenge qui a des bons côtés.

[Rebelle_]

En ce qui concerne le théorème qui dit qu'il existe une infinité de nombre premiers j'en ai une démonstration a priori correspondante à celle dont tu parles.
En quelques mots, on raisonne par l'absurde en posant k le plus grand nombre premier. On a N = k! + 1, or N est supérieur ou égal à 2 et n'est divisble par aucun des premiers entre 2 et k. Or, d'après un autre théorème fondamental N admet au moins un diviseur premier q, soit q > k qui est absurde.

Est-ce que c'est l'idée ? J'espère que oui sinon je retourne réviser mon cours ^^'

C'est vrai que c'est un challenge de tous les instants, il faut s'accrocher :P

[ft73]

Si tu cherches les conséquences de ce théorème, je dirais que la plus importante, et c'est peu dire, est qu'il y a une infinité de nombres premiers!

d'ailleurs tu montres ça comment ?

La preuve la plus simple de la décomposition, à ma connaissance, se fait par récurrence forte. On suppose que tous les k<=n ont une décomp ; si n+1 ne possède pas de diviseur alors il est premier, sinon c'est qu'il s'écrit comme un produit de deux nombres <=n donc qui se décomposent.
Reste l'unicité mais ce n'est pas le principal.

[Rebelle_]

Bonjour :)

En Terminale on voit la méthode que j'ai citée dans mon précédent post pour montrer qu'il y a une infinité de nombre premiers.

[ft73]

En Terminale on voit la méthode que j'ai citée dans mon précédent post pour montrer qu'il y a une infinité de nombre premiers.

oui ! mais c'est la relation th. décomp => infinité qui est posée dans mon message.