Théorème des restes chinois.

[Diablo7]

Bonjour,
Voici un problème en arithmétique que je n'arrive pas à résoudre:
Si n1, n2,... , nk sont k entiers premiers entre eux deux à deux et a1,..., ak des entiers.
Alors le système : x est congru à ai [ modulo ni] pour i variant de i à k a une solution unique [ modulo ni ( pour i =1 à i=k) ]

a) Soit n'i le produit : n1*n2*...n(i-1)*n(i+1)*...*nk. Montrez que l'on ne peut pas trouver un diviseur premier commun à ni et n'i puis que la congruence: xn'i est congru à 1 [ modulo ni] a une unique solution pour tout i variant de i à k. Notons xi cette solution.

b)Montrez que Somme (ain'ixi) pour i variant de 1 à k est solution du système : x est congru à ai(ni)

c)Pour démontrer l'unicité, supposez qu'il existe deux solutions du système et montrez par récurrence que Produit(ni) de i= 1 à i=k divise leur différence


Résultats :
a) Pour la a. Je sais toujours pas démontrez le fait qu'il n'y ai pas de diviseur premier commun. Malgré Wikipédia.

b) Je comprends pas comment passer du n'i à n'i/ni pour cette démonstration sur Wikipédia.

c) J'ai pas compris c'était quoi la proposition pour la récurrence...


Pourriez vous m'aider ?

[Huppasacee]

Pour la a)

Soit un facteur premier p divisant ni et n'i
p étant premier, il diviserait au moins un des facteurs du produit n'i, donc il diviserait un facteur nj , j différent de i et ni

or les nombres ni sont premiers entre eux deux à deux , ils n'ont donc aucun diviseur commun

[Diablo7]

Ouii, C'est ce que j'ai fait. Merci.
Par contre, Pourriez vous juste m'expliquer la question b. C'est elle qui a un référence avec Wikipédia...
Et pour la c. Quel est la proposition pour la récurrence. Parce que l'initialisation et l'hérédité, je ne sais pas quoi faire...

Merci encore!