Théorème de Bézout...

[letudian]

Bonjours,
Je suis en pleine révision de bac (TS) et me retrouve confronté à un petit problème de spé...Le voici:


U(0)=0
U(n+1)=2Un+1
Je dois montrer que Un et Un+1 sont premiers entre eux.
Dans ma correction il y est écrit: "U(n+1)-2Un=1, donc d'après les théorème de Bézout, U(n+1) et Un sont premiers entre eux."
Mon problème est le suivant: pourquoi U(n+1) n'est-il pas premier avec (-2)?


Je penses que mon problème pourrait être généralisé comme ceci:
Si j'ai au+bv=1, alors PGCD(a;b)=1 et/ou PGCD(a;v)=1 et/ou PGCD(u;v)=1?

Merci d'avance!

[Quidam]

Je penses que mon problème pourrait être généralisé comme ceci:
Si j'ai au+bv=1, alors PGCD(a;b)=1 et/ou PGCD(a;v)=1 et/ou PGCD(u;v)=1?

Brillante réflexion ! Effectivement, si au+bv=1, a,b,u,v entiers, alors évidemment :

a est premier avec b
a est premier avec v
u est premier avec b
u est premier avec v

Cela répond-il à ta question ?

[letudian]

Oui, cela répond à ma question. :++:
Cependant pourriez vous me démontrer pourquoi?

[Quidam]

Oui, cela répond à ma question. :++:
Cependant pourriez vous me démontrer pourquoi?

Tu veux la démo du théorème de Bezout (il paraît qu'en fait, c'est Bachet de Méziriac qui l'a trouvé, mais bon ...) ? Dans ton manuel ...Sinon, si tu acceptes le théorème, les quatre vérités citées ci-dessus sont parfaitement évidentes !

[letudian]

Très bien!
La démonstration de mon manuel est incompréhensible, mais il y en aura bien une que je comprendrai sur internet!
En attendant j'accepte sans broncher ces 4 vériter :id: !

Merci à tous pour vos réponse!