Tétraèdre et plans...

[samantha]

Bonjour, je séche complétement sur cet exercice car j'ai de gros problèmes de perspective lorsque je trace des figures en 3D.

Voici l'énoncé:

soit un tetraedre ABCD et 3 points E,F,G appartenant respectivement aux arêtes [AB], [AD] et [CD)
1)construire l'intersection du plan EFG avec chacune des faces du tétraèdre:
a) lorsque (EF) et (FG) sont sécantes respectivement à (BD) et à (AC)
b) lorsque (EF)//(BD) et (FG)//(AC)

2)montrer que l'intersection du plan EFG et du tetraedre est un parallélogramme

Je remercie tous ceux qui parviendront à m'aider, pas la peine de tracer les figures mais si vous pouviez me donner la démarche pour pouvoir les tracer.

[samantha]

Merci d'avance à tous pour vos réponses.
Bonne soirée

[Huit]

Bonsoir !

Alors on va faire ça étape par étape ....
Pour qu'on soit d'accord, "prend F proche de A, E proche de B et G proche de C"...
- Tracer le tetraèdre
- Placer les point E,F et G
- Relier les point F et G : Tu obtiens ainsi un premier "côté" de l'intersection
- Relier les point F et E : Tu obtiens un deuxième "côté"
- Prolonger la droite (DB) et la droite (FE) jusqu'à ce qu'elles se coupent. On nomera l'intersection K
- Relier les points K et G : Tu obiens un troisième "côté"
La droite (KG) coupe le segment [BC] en J
- Relier les point E et J
Tu obtiens ton plan d'intersection ! (FGEI)

Bon c'est pas très mathèmatique mais j'espère que ça te permettra d'effectuer ta construction !

[samantha]

Je vous remercie d'avoir pris le temps de m'aider mais j'avoue que je n'ai absolument pas compris la correction, je ne vois pas le rapport avec les questions. Certes on trace un plan, mais ca ne suit pas les contraintes (enfin je crois), si je pouvais avoir d'autres précisions.
Je sais que je dois vous sembler nulle mais je n'y arrive vraiment pas, je ne veux pas non plus abuser de votre gentillesse, je me sens toute bête, vous m'aidez mais je ne comprends pas. Je suis désolée...

[Chimerade]

Certes on trace un plan, mais ca ne suit pas les contraintes (enfin je crois), si je pouvais avoir d'autres précisions.
Je sais que je dois vous sembler nulle mais je n'y arrive vraiment pas, je ne veux pas non plus abuser de votre gentillesse, je me sens toute bête, vous m'aidez mais je ne comprends pas. Je suis désolée...

Non, tu n'es pas nulle. La démonstration de Huit, à mon avis, ne tient effectivement pas compte des contraintes - à savoir que "(FG) est sécante à (AC). Il dit "La droite (KG) coupe le segment [BC] en J" ; mais cela n'est pas certain ! En tous cas, il ne le démontre pas. De plus, il définit le point J mais conclut "Tu obtiens ton plan d'intersection ! (FGEI)" au lieu de parler de FGEJ : cette faute de frappe a pu te perturber !

Par contre il n'y a pas grand-chose à changer. Je propose la modification suivante :

- Tracer le tetraèdre
- Placer les point E,F et G
- F et G appartiennent à la fois au plan ACD et au plan EFG. La droite FG est donc l'intersection de ces deux plans.
- F et E appartiennent à la fois au plan ABD et au plan EFG. La droite EF est donc l'intersection de ces deux plans.
- Prolonger la droite (DB) et la droite (FE) jusqu'à ce qu'elles se coupent. On nommera l'intersection K : ceci est possible car l'énoncé précise que DB et FE sont sécantes.
- Prolonger la droite (AC) et la droite (FG) jusqu'à ce qu'elles se coupent. On nommera l'intersection L : ceci est possible car l'énoncé précise que AC et FG sont sécantes.
Le point L appartient à AC donc au plan ABC, et à FG donc au plan EFG. La droite EL appartient au plan ABC et au plan EFG : c'est l'intersection des deux plans. La question de savoir si EL et BC sont sécante reste en suspend : c'est assez délicat. On peut dire que si E et F appartiennent respectivement aux segments [AB] et [AD] (c'est-à-dire qu'ils sont à l'intérieur de ces segments) alors le point K, intersection de EF et BD est nécessairement extérieur au segment [BD]. Dès lors, s'il advenait que EL soit parallèle à BC, le théorème du toit nous indiquerait que KG serait alors parallèle à EL et le fait que K soit extérieur à BD entraînerait que G serait extérieur à [CD], ce qui est contraire à l'énoncé. Il en résulte que cette hypothèse selon laquelle EL pourrait être parallèle à BC est erronée : EL coupe BC : soit J le point d'intersection. L'intersection du plan EFG avec le tétraèdre est donc le quadrilatère EFGJ.

2)montrer que l'intersection du plan EFG et du tetraedre est un parallélogramme

Je ne vois pas de raison pour laquelle cette intersection serait un parallélogramme dans tous les cas. Es-tu sûre d'avoir recopié parfaitement ton énoncé ?

[samantha]

Je n'en reviens pas que vous ayez écrit tout ca pour moi, j'ai réussis à tracer la figure et à comrendre grace à vous. Mais vous êtes si gentille! Avoir écrit tout ca pour moi, que vous ne connaissez pas, que vous n'avez jamais vu, juste pour m'aider. J'en ai les larmes aux yeux. Ma mère aussi vous remercie du fond du coeur, qui que vous soyez. Bonne semaine, bonne année et longue vie.

Merci encore du fond du coeur.

[Chimerade]

Je n'en reviens pas que vous ayez écrit tout ca pour moi, j'ai réussis à tracer la figure et à comrendre grace à vous. Mais vous êtes si gentille! Avoir écrit tout ca pour moi, que vous ne connaissez pas, que vous n'avez jamais vu, juste pour m'aider. J'en ai les larmes aux yeux. Ma mère aussi vous remercie du fond du coeur, qui que vous soyez. Bonne semaine, bonne année et longue vie.

Merci encore du fond du coeur.

Faut pas vous mettre dans un état pareil ! C'est normal ! C'est un plaisir pour tous ceux qui répondent aux questions posées ici : je ne suis que l'un d'eux ! Merci de noter que je ne suis pas "gentille" : à la rigueur vous pouvez dire "gentil" ! :++: En tous cas, je vous remercie d'avoir accusé réception : il est si fréquent de ne plus jamais entendre parler de ceux à qui l'on a donné un petit coup de main...