DM de TERMINALE : DEMONSTRATIONS VECTEURS

[illuvatari]

Bonjour à tous!

voila, un petit dm de maths
comme d'habitude, je le trouve très compliqué, mais àprès tout, c'est le but!

voici l'énoncé:

ABC est un triangle
G est son centre de gravité
I, J, K sont les milieux respectifs des cotés [BC], [CA], [AB]
M est un point quelconque
Les points P, Q, R sont les symétriques respectifs de M par rapport à I, J, K
Le point H est le centre de gravité du triangle PQR

1) Que peut-on dire des segments [AP], [BQ], [CR] et [GH]?

2) Que peut-on dire des points M, G et H?

mon schéma(il manque le segment [CR])

voici ce que j'ai déduis :

1).Chaque points triangle ABC sont le symétrique des de ceux du triangle PQR par rapport à M

.donc le triangle ABC et le triangle PQR sont semblables, et PQR est le résultat d'une homotétie par rapport au triangle ABC

.mais ce n'est pas parceque M est le centre de symétrie de chacun des points des deux triangles que c'est le centre de l'homotétie qui lie les deux triangles

.soit l'homotétie de centre O qui lie les deux triangles.

On sait que
-le point R du triangle PQR correspond au point C du triangle ABC
-le point P du triangle PQR correspond au point A du triangle ABC
-le point B du triangle PQR correspond au point Q du triangle ABC
-le point G du triangle PQR correspond au point H du triangle ABC

>donc les segments [AP], [BQ], [CR] et [GH] se coupent en O, centre de l'homotétie qui liant les deux triangles.

2) M, G et H semblent être alignés

j'ai trois questions (et j'èspère grandement que quelqu'un y répondra ^^)

A) est-ce que ce raisonnement est juste et complet?si non pouvez vous m'aider à la compléter?

B) est ce que la rédaction est rigoureuse? si non quelqu'un peut- il m'aider à l'améliorer?

C)comment prouver ma réponse à la 2ème question de l'énoncé?

merci d'avance!

[Luc]

Salut,

Ton dessin est très bien fait!

Si j'étais à ta place, j'écrirais avec des vecteurs: tu sais par exemple que le centre de gravité d'un triangle est au 2/3 du segment sommet - milieu du coté opposé, par exemple .
Et puis le symétrique à l'avantage de bien se traduire en termes de vecteurs:
par exemple .

Je suis d'accord avec ton intuition que les 4 droites se coupent en O. Le truc qui me gêne c'est que parler de segment sous entend qu'on veut dire quelque chose sur les longueurs, pas sur l'alignement (sinon on dirait les droites).

[illuvatari]

oui, mais j'ai mesuré, et les segments ne se coupent pas en leurs milieux, alors en quoi peut on dire quelque chose sur leurs longueurs?

et deuxième chose :

comment puis-je prouver avec des relations vectorielles, que les segments sont concourants en un même point et que m, g et h sont alignés?


en tout cas merci pour la rapidité de ta réponse!

[illuvatari]

personne n'a une petite idée?

merci de bien vouloir répondre a mon appel désespéré! :help:

[Luc]

oui, mais j'ai mesuré, et les segments ne se coupent pas en leurs milieux, alors en quoi peut on dire quelque chose sur leurs longueurs?

Je ne sais pas si l'on peut dire quelque chose sur leur longueur. Et puis il ne faut pas se fier à tout prix à un dessin (M devrait être sur la droite (KR) normalement :zen: )

comment puis-je prouver avec des relations vectorielles, que les segments sont concourants en un même point ?[/B][/COLOR]



[COLOR=Red][B]

Très bonne question! On peut introduire un point candidat à être l'intersection de ces segments et l'exprimer comme un barycentre des extrémités du segment, pour chaque segment. Etre un barycentre de A et B à poids positifs implique appartenir au segment [AB]. Note bien que l'avantage d'utiliser les barycentres est que l'on n'a pas besoin d'avoir une origine, un repère et des coordonnées.

comment puis-je prouver avec des relations vectorielles, que m, g et h sont alignés?

Soit dire que le déterminant de MG et MH est nul (mais ca oblige à utiliser un repère et des coordonnées). Soit en exprimant par exemple G comme un barycentre de M et de H affectés de certains coefficients!

[illuvatari]

Très bonne question! On peut introduire un point candidat à être l'intersection de ces segments et l'exprimer comme un barycentre des extrémités du segment, pour chaque segment. Etre un barycentre de A et B à poids positifs implique appartenir au segment [AB]. Note bien que l'avantage d'utiliser les barycentres est que l'on n'a pas besoin d'avoir une origine, un repère et des coordonnées.

oui, mais si on dit que le point d'intersection de ces segments est le barycentre de chacun de ces segments (dont les extrémités sont affectées de coefficients),
cela voudrait dire que l'on affirme que les segments se coupent en un même point, or on ne l'a pas prouvé!

j'ai du mal comprendre votre raisonnement, pouvez vous m' éclaircir svp?

[Luc]

oui, mais si on dit que le point d'intersection de ces segments est le barycentre de chacun de ces segments (dont les extrémités sont affectées de coefficients),
cela voudrait dire que l'on affirme que les segments se coupent en un même point, or on ne l'a pas prouvé!

j'ai du mal comprendre votre raisonnement, pouvez vous m' éclaircir svp?

Non! On ne suppose pas à l'avance qu'il existe un point d'intersection commun! On trouve un point, en l'occurence O, qui est barycentre de A et P, mais aussi barycentre de B et Q, barycentre de C et R, et barycentre de G et H (avec des poids différents bien sûr).

[illuvatari]

d'accord, donc on pose O, barycentre de a et p,

mais ensuite, comment trouve-t-on qu'il est aussi barycentre des autres segments?

[Luc]

d'accord, donc on pose O, barycentre de a et p,

mais ensuite, comment trouve-t-on qu'il est aussi barycentre des autres segments?

je ne suis pas trop d'accord avec ta définition de O qui n'en est pas une puisque tu n'as pas précisé les coefficients. L'ensemble des barycentres de a et p, c'est toute la droite (ap) !

Ta définition du point O est pour l'instant la suivante : soit l'homotétie de centre O qui lie les deux triangles.
Le mieux à mon avis est de donner une relation vectorielle donnant explicitement O. (par exemple le vecteur GO).

[illuvatari]

OK! c'est vrai que ma définition n'était pas correcte.


seulement, je ne vois pas comment retrouver la relation vectorielle du vecteur GO, puisque O est un point pour l'instant inconnu?

[illuvatari]

quelqu'un peut-il m'expliquer ce détail svp? :help:

[illuvatari]

s'il vous plaît une petite réponse c'est à faire pour demain!