Synthèse sur les équations réduites

[philippe6]

Selon, la nature la fonction, est-il possible de connaitre l' équation réduite qui lui correspond,et son intérêt : quels éléments caractéristiques vont être mis en évidence ? (existe-t'il une espèce de tableau récapitulatif ?)

j'ai beau fouiller le web et ma doc, je n'ai que des éléments éparpillés et ne permettant aucune conclusion systématique.
Merci !

[titine]

Qu'appelles tu "équation réduite d'une fonction" ?

[philippe6]

j'ai un exemple d'équation réduite d'hyperbole cas général :
f(x) = (ax+b)/(cx+d)
qui après un développement de la forme de base devient
f(x)=a/c+((bc-ad)/c^2))/(x+d/c)

Il est posé dans cet exemple
X=x+d/c
Y=y-a/c
d'où, l'équation réduite : Y=A/X

mais cet exemple, je l'ai trouvé dans une démonstration, je n'ai pas bien compris le principe qui le génère.
Je ne sais pas non plus à quoi ça sert.

Pour une droite, c'est plus simple l'équation réduite est de la forme y = ax + b , s'obtient à partir de deux points et permet de trouver le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, ce que je cherche c'est le principe, le but, à quoi ça sert, ce que je dois comprendre si on me demande l'équation réduite de la courbe d'une fonction de type f(x) = ax2 + bx +c

[chan79]

j'ai un exemple d'équation réduite d'hyperbole cas général :
f(x) = (ax+b)/(cx+d)
qui après un développement de la forme de base devient
f(x)=a/c+((bc-ad)/c^2))/(x+d/c)

Il est posé dans cet exemple
X=x+d/c
Y=y-a/c
d'où, l'équation réduite : Y=A/X

mais cet exemple, je l'ai trouvé dans une démonstration, je n'ai pas bien compris le principe qui le génère.
Je ne sais pas non plus à quoi ça sert.

Pour une droite, c'est plus simple l'équation réduite est de la forme y = ax + b , s'obtient à partir de deux points et permet de trouver le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, ce que je cherche c'est le principe, le but, à quoi ça sert, ce que je dois comprendre si on me demande l'équation réduite de la courbe d'une fonction de type f(x) = ax2 + bx +c

Salut
Si tu fais un changement de repère en tenant compte par exemple des éléments de symétrie de la courbe, tu peux avoir une équation plus simple.
Par exemple f(x)=2x²-4x+3
le sommet est S(1,1)
Si tu prends un nouveau repère en changeant seulement l'origine (S comme nouvelle origine)
l'équation devient
Y+1=2(X+1)²-4(X+1)+3
Y+1=2X²+4X+2-4X-4+3
Y=2X²

[philippe6]

posté par chan79 :
Y+1=2(X+1)²-4(X+1)+3

tu ne veux pas dire y+1=2(x+1)2-4(x+1)+3 ?

si tu change de repère c'est Y qui vaut y+1 dans ce cas donc en remplaçant ...

[chan79]

tu ne veux pas dire y+1=2(x+1)2-4(x+1)+3 ?

si tu change de repère c'est Y qui vaut y+1 dans ce cas donc en remplaçant ...

le changement de repère donne
x=X+1
y=Y+1
coordonnées du sommet dans l'ancien repère (x,y)=(1,1)
coordonnées du sommet dans le nouveau repère (X,Y)=(0,0)

[philippe6]

désolé, c'est pourtant évident,
j'ai posté, en fait, pour comprendre pourquoi la simplification (elle amène quoi ?) et comment tu choisis ton nouveau repère ?

[chan79]

désolé, c'est pourtant évident,
j'ai posté, en fait, pour comprendre pourquoi la simplification (elle amène quoi ?) et comment tu choisis ton nouveau repère ?

en prenant comme nouvelle origine le sommet de la parabole, l'équation est plus simple, c'est tout

[philippe6]

chan79 a dit :

en prenant comme nouvelle origine le sommet de la parabole, l'équation est plus simple, c'est tout

justement, c'est un peu ce que je te demande : le sommet de la parabole comme nouvelle origine, c'est une déduction ou bien du cours ?

[chan79]

justement, c'est un peu ce que je te demande : le sommet de la parabole comme nouvelle origine, c'est une déduction ou bien du cours ?

Tu peux démontrer que, dans ce cas là, l'équation est de la forme y=ax²

[philippe6]

Tu peux démontrer que, dans ce cas là, l'équation est de la forme y=ax²

Le seul but est donc la simplification de l'équation par un changement de repère ?

[Anonyme]

Ce qu'il faut retenir (d'après ce que j'ai retenu de ce cours, il y a longtemps...)
Toute fonction du type f(x) = ax2 + bx +c (avec a non nul) est une parabole
et en faisant un changement de repère cette fonction peut s'écrire f(X)=X^2

Toute fonction du type f(x) = (ax+b)/(cx+d) (homographique avec ad -bc non nul ) est une hyperbole
et en faisant un changement de repère cette fonction peut s'écrire f(X)=1/X

[philippe6]

et en faisant un changement de repère cette fonction peut s'écrire f(X)=X^2

tu veux dire f(X)=aX^2

mais je réitère ma question : il n'y a pas de subtilité, juste une recherche de simplification ?

[Anonyme]

réponse NON : on obtient f(X)=X^2

Le changement de repère se fait par la décomposition de l'expression f(x) sous sa forme dite "canonique"
Ceci , afin de trouver le changement de repère adéquate, pour obtenir ce que tu as appelé dans ton 1er message "l'équation réduite"