Exercice 1 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
(Un) et (Vn) sont deux suites réelles définies par :
Uo = 1 et pour tout n Un+1= 1/2Un
Vo=1 et pour tout entier n Vn+1=Vn+1/2^n+1.Alors :
a. (Un) est une suite géométrique.
b.(Vn) est une suite arithmétique.
c.Pour tout n appartenant IN*, Uo+U1+U2+...+Un=2(1-(1/2)^n).
d.Pour tout entier n, Vn=2-1/2^n.
Voici ce que j'ai fait :
a.D'après la définition d'une suite géométrique on a Un+1=Un x q
Or Un+1=1/2Un
Donc (Un) est bien une suite géométrique de raison 1/2.
b.D'après la définition d'une suite arithmétique on a
Vn+1=Vn+r
De plus, d'après la définition r est une constante or ici 1/2^n+1 n'est pas constante elle dépend de n.
Donc(Vn) n'est pas une suite arithmétique.
Mais ici je bloque car j'ai trouvé que la suite n'était ni arithmétique ni géométrique. Est- ce possible? Ou bien me suis-je trompée?c.D'après a) (Un) est une suite géométrique donc on peut écrire :
Sn ( somme de la suite ) = 1er terme x (1-q^nb de terme)/(1-q)
Cela nous donne 1 x (1-(1/2)^n)/(1-1/2) = 1 x 2 (1-(1/2)^n) = 2(1-(1/2)^n)
d.
Ici je buche car je ne sais pas si (Vn) est arithmétique ou géométrique donc je ne peux pas utiliser la somme.