Ex sur les fonctions

[Nastya9307]

1. Soit f une fonction paire sur son domaine de définition D et k un réel fixé.
La fonction kf est-elle paire? La fonction g définie par g(x) = f(x) + k est elle paire?

2. Soit f une fonction impaire sur son domaine de définition D et k un réel fixé.
La fonction kf est-elle impaire? La fonction g définie par g(x) = f(x) + k est elle impaire?

besoin d'aide...merci à l'avance!

[gigamesh]

Bonjour,
tu as fait quoi pour l'instant ?
Tu auras besoin des définitions de ce que sont une fonction paire, une fonction impaire.
C'est à partir de ces définitions que tu pourras répondre aux questions, soit par oui avec une démonstration, soit par non avec un contre exemple.

tu peux aussi avancer des justifications graphiques, éventuellement.

[Nastya9307]

merci beaucoup pour votre réponse :happy2:

1.fonction paire: f(-x) = f(x)
2.fonction impaire: f(-x) = -f(x)

1. kf(-x) = kf(x) (fonction reste paire)

f(-x)+k = f(x)+k

2. kf(-x) = k*(-f(x))

f(-x)+k = -f(x)+k

mais après, pour démontrer si c'est vrai ou pas j'ai des difficultés.... :cry:

[gigamesh]

Bah pour la 1 par exemple,
tu pars de f(-x)=f(x) et tu multiplies par k...
rien de très compliqué !

Une remarque quand même : pour qu'une fonction soit paire (ou impaire), il faut d'abord que son ensemble de définition soit symétrique par rapport à zéro, c'est-à-dire => .

Il serait bon de préciser que kf et f+k ont le même ensemble de définition que f...

[Nastya9307]

pour la 1, si je dis que:
kf(-x) = kf(x)

k/k=f(x)/f(-x)
....

est ce que je suis sur un bon chemin?

[gigamesh]

pour la 1, si je dis que:
kf(-x) = kf(x)

k/k=f(x)/f(-x)
....

est ce que je suis sur un bon chemin?

Non, pour deux raisons :
* tu ne peux diviser par f(-x) que si f(-x) est différent de zéro, et ça tu n'en sais rien
* tu ne sais pas où tu vas car tu n'as pas précisé ta démarche (pour celui qui te lira mais aussi et avant tout pour toi-même !)

Je te suggère ceci :

On sait que f est une fonction paire, k est un réel, et on veut prouver que la fonction kf est paire.
Pour cela il suffit de prouver que :
* l'ensemble de définition de kf est symétrique par rapport à zéro ;
* pour tout ,

Pour le premier point, on sait que f est paire et que , donc...

pour le deuxième point, puisque f est paire, si alors f(x)=f(-x), donc on obtient ....=.... en multipliant les deux membres par k

Par conséquent, on a bien prouvé que ...



Une démonstration mathématique se construit comme une dissertation :
* dans l'intro on pose le problème et on annonce le plan ("il suffit de prouver que ...")
* on développe les arguments
* on conclut, pour que le lecteur pressé ne soit pas obligé de se taper toute ta démonstration

[Nastya9307]

peut etre si je multiplie la fonction paire par un nombre
la parité de cet fonction ne change pas, sauf que la fonction devient de plus en plus grand (ou de plus en plus petite) sur l'axe des abscisses (car elle est symetrique par rappotr à l'axe des ordonnées).
on peut marquer ça : y=k*f(-x)=k*f(x)

c'est ça?

[Nastya9307]

Merci!!! :we:

[gigamesh]

peut etre si je multiplie la fonction paire par un nombre
la parité de cet fonction ne change pas, sauf que la fonction devient de plus en plus grand (ou de plus en plus petite) sur l'axe des abscisses (car elle est symetrique par rappotr à l'axe des ordonnées).
on peut marquer ça : y=k*f(-x)=k*f(x)

c'est ça?

On peut dire ça, le fait de dilater ou d'écraser verticalement une courbe ne change pas le fait qu'elle soit symétrique par rapport à l'origine du repère ou bien par rapport à l'axe des ordonnées.

En plus cette vision géométrique va te permettre de voir qu'une translation verticale (quand on passe de la courbe de f à celle de f+k) ne conserve qu'un seul de ces deux types de symétrie.