Sur les équations diff

[nico033]

bonsoir,

nous avons corriger une partie de devoir sur les équations différentielles, dont je nai pas tres bien compris la correction, pourriez vous me lexpliquer sil vous plait merci

voici le sujet et la correction de ma prof:

Dans tout l'exercice, lambda désigne un nombre réel de l'intervalle ]0,1].
On se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ]-infini, 1/2[ vérifiant l'équation différentielle (E): y'=y²+lambda y et la condition
y(0) = 1.
on suppose quil existe une solution y0 de (E) strictement positive sur ]-infini, 1/2[ et on pose sur ]-infini, 1/2[ : z = 1/y0.

ecrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

correction de la prof:
z=1/y0 donc y0=1/z et y0'=-z'/z²
à remplacer dans y'=y²+lambda

z'=-1-lambda*z²

donc lambda z²+z'+1 = 0 (pourquoi?? je ne vois pas tres bien)

et apres nous devons finir l'exo

il faut démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle (E) : z' = -(lambda*z+1) telle que z(0) = 1.

et de donner l'expression de cette fonction . (vous pouvez m'expliquer sil vous plait)

[annick]

Bonsoir,
Je suppose qu'il y a une petite erreur d'écriture : ce n'est pas (E):
y'=y²+lambda y mais
(E): y'=y²+lambda

Sinon, on reprend tranquillement :
z=1/y donc y=1/z ça ça va?
y'=-z'/z² ça aussi?

On remplace y' et y² par ce qu'on vient de poser dans (E) :

-z'/z²=(1/z)²+ lambda

On met tout au même dénominateur(z²) et on simplifie donc:

-z'=1+lambda z² soit lambda z²+z'+1=0

[nico033]

ok merci bcp jai pris le temps de relire, ce que vous mavez dis et je comprend bcp mieux maintenant merci

par contre pourriez vous mexpliquer pour la derniere question, que jai a faire pour la prochaine fois, (celle qui commence par démntrer l'existence et l'unicité......

car on nous dis avant que les solutions de l'équation différentielle
y' = -lambda*y sont les fonctions x = Cexp(-lambda*x) ou C est une constante réelle.

[anima]

bonsoir,

nous avons corriger une partie de devoir sur les équations différentielles, dont je nai pas tres bien compris la correction, pourriez vous me lexpliquer sil vous plait merci

voici le sujet et la correction de ma prof:

Dans tout l'exercice, lambda désigne un nombre réel de l'intervalle ]0,1].
On se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ]-infini, 1/2[ vérifiant l'équation différentielle (E): y'=y²+lambda y et la condition
y(0) = 1.
on suppose quil existe une solution y0 de (E) strictement positive sur ]-infini, 1/2[ et on pose sur ]-infini, 1/2[ : z = 1/y0.

ecrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

correction de la prof:
z=1/y0 donc y0=1/z et y0'=-z'/z²
à remplacer dans y'=y²+lambda

z'=-1-lambda*z²

donc lambda z²+z'+1 = 0 (pourquoi?? je ne vois pas tres bien)

et apres nous devons finir l'exo

il faut démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle (E) : z' = -(lambda*z+1) telle que z(0) = 1.

et de donner l'expression de cette fonction . (vous pouvez m'expliquer sil vous plait)

z' = -(lambda*z+1)
équation différentielle complète. On se propose d'abord de résoudre l'équation différentielle homogène .
z=0 est solution;
On se propose maintenant de trouver la solution générale; soit z=f(x), f(x) continue et NE S'ANNULANT PAS. On a donc
z'=-z
z'/z = -1

ln |z| = x + c (c appartient à R)
|z| = exp(x+c) = exp(x)exp(c)
Comme z ne s'annule jamais, elle est donc strictement positive ou négative. On a donc 2 cas de figure:
z>0: z=exp(x)exp(c) exp(c) prend les valeurs de 0 à +inf
z<0: z=-exp(c)exp(x) -exp(c) prend les valeurs de -inf à 0
Somme toute, la solution générale est z=k exp(x) k appartient à R (R* au début, mais z=0 est solution).

On sait aussi d'après un théorème vérifiable que la solution d'une équation complète est la somme de la solution générale de l'EH et d'une solution spécifique de l'EC. On a donc
Z=z + z0
z0 = -1/lambda si mes calculs sont justes.

Ensuite, tu as Z forme générale. Il te suffit de trouver quand Z(0)=1 :zen:

[nico033]

a quoi correspond EC et EH sil vous plait

[anima]

a quoi correspond EC et EH sil vous plait

EC: équation complète (a(x)z'+b(x)z=c(x))
EH: équation homogène (a(x)z'+b(x)z=0)

[annick]

Bonsoir Anima,
Excuse-moi, mais je crois que, même si tes réponses mathématiques sont justes, la façon dont tu les expliques sont souvent inabordables pour un élève français moyen.
Cela me désole un peu car j'ai l'impression que l'élève se trouve encore plus "nul"
en sortant du forum, alors qu'au contraire il aurait du avoir l'impression de progresser et donc prendre confiance en lui.
Le système français est déjà trop souvent destructeur de confiance en soi, alors il serait bien que dans des lieux tels que celui-ci on puisse faire contrepoids et que les élèves en ressortent en se disant qu'ils peuvent faire.
Bien souvent tes explications pourraient s'adresser à des élèves de prépa or ils ne sont encore que lycéens pour le moment.
Ceci est dit sans animosité, mais si tu pouvais essayer de te mettre à leur portée, tu verrais que c'est aussi un exercice très intéressant pour toi. Le bon pédagogue, c'est celui qui peut se faire comprendre de n'importe quel public.

[anima]

Bonsoir Anima,
Excuse-moi, mais je crois que, même si tes réponses mathématiques sont justes, la façon dont tu les expliques sont souvent inabordables pour un élève français moyen.
Cela me désole un peu car j'ai l'impression que l'élève se trouve encore plus "nul"
en sortant du forum, alors qu'au contraire il aurait du avoir l'impression de progresser et donc prendre confiance en lui.
Le système français est déjà trop souvent destructeur de confiance en soi, alors il serait bien que dans des lieux tels que celui-ci on puisse faire contrepoids et que les élèves en ressortent en se disant qu'ils peuvent faire.
Bien souvent tes explications pourraient s'adresser à des élèves de prépa or ils ne sont encore que lycéens pour le moment.
Ceci est dit sans animosité, mais si tu pouvais essayer de te mettre à leur portée, tu verrais que c'est aussi un exercice très intéressant pour toi. Le bon pédagogue, c'est celui qui peut se faire comprendre de n'importe quel public.

Je suis aussi en terminale, et c'est ce que j'apprends maintenant, sans hors-programme. Donc bon...

Enfin, j'avais dans la tête de le faire sans approximation ni sous-entendu, mais bon. Si il y a besoin de clarification, je serai heureux de les donner...avec tous les coups de pouce nécessaire pour bien comprendre ce que j'écris (si j'ai juste). Mon but n'est pas de rendre les choses plus faciles qu'elles le sont, mais de les rendre le plus exact possible, tout en restant dans le scope de ce que je fais en ce moment (en terminale européenne). Et si il y a besoin de plus de détails, je suis même heureux quand il faut démontrer tout ce truc d'équas diff. Du moment qu'on me le demande, je le ferai.

(Ce que je déteste, c'est les gens qui apprennent machinalement)

[fahr451]

bonsoir assez d'accord avec annick

mais là il y a un problème car anima n 'a pas trouvé toutes les sol
mais a priori celles qui ne s 'annulent pas
REM : l équa diff à résoudre est elle avec un Z ou un Z^2?

pour celle avec un Z


en fait nul besoin de diviser par Z

2options

1) on connait par coeur la solution (très bonne option)
2) on résoud proprement :
on multiplie par exp(-x) (qui ne s 'annule pas)les deux membres

et on reconnait la dérivée de z(x)exp(-x)

d'où la résolution explicite

[anima]

bonsoir assez d'accord avec annick

mais là il y a un problème car anima n 'a pas trouvé toutes les sol
mais a priori celles qui ne s 'annulent pas

Tu peux me dire quelles solutions j'ai oublié, par curiosité, :we:

[fahr451]

Tu peux me dire quelles solutions j'ai oublié, par curiosité, :we:

à quoi ça sert de mettre en GRAS une condition pour l 'oublier ensuite?

ne sais tu pas lire?

tu as écarté a priori les solutions qui s 'annulent

quid de ces solutions?

[nico033]

pouvez vous sil vous plait maider a resoudre la question posé car lexplication de anima je ne la comprend pas trop, et je ne serai pas lexpliquer a ma prof

[fahr451]

pourrais tu toi lire ce qu on écrit :tu cites une équa diff avec un terme en Z^2

puis une autre avec un terme en Z laquelle est ce ?

[nico033]

on me demande de démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle E: z' = -(lambda*z+1) telle que z(0) = 1 et den donner ensuite une expression .

sachant que lon me dis que les solutions de l'équation différentielle y' = -lambda*y sont les fonctions x = Cexp(-lambda x) ou C est une constante réelle .
cest tout ce que je sais sur la question.

[fahr451]

en gros on te donne la solution dans l énoncé

z' = -lambda z - 1 = -lambda ( z +1/lambda)

on pose y = z +1/lambda

on a y ' = z '
donc l 'équation devient


y ' = -lambda y

l 'énonc é te donne la soluce


y = C exp (-lambda x)

comme z(0) = 1 tu as y(0) et tu en déduis la valeur de C

[anima]

à quoi ça sert de mettre en GRAS une condition pour l 'oublier ensuite?

ne sais tu pas lire?

tu as écarté a priori les solutions qui s 'annulent

quid de ces solutions?

Je les ai écartés, puis reprises après. Sinon, la constante de fin n'aurait pas été appartenant à R...si?

z=ke^(x) k€R et non à R*, pour incorporer z=0

[fahr451]

non raisonnement faux

tu as trouvé toutes les solutions ne s annulant pas
tu as ajouté la solution nulle

mais tu n as pas traité le cas des solutions éventuelles (en fait il n 'y en a pas)

qui s 'annuleraient sans être identiquement nulles.

[anima]

non raisonnement faux

tu as trouvé toutes les solutions ne s annulant pas
tu as ajouté la solution nulle

mais tu n as pas traité le cas des solutions éventuelles (en fait il n 'y en a pas)

qui s 'annuleraient sans être identiquement nulles.

D'accord; dans ce cas...Mon cours est à revoir (enfin remarque, c'est assez neuf, les équas diff)

[fahr451]

je te donne la résolution correcte en trois lignes :
z' - z = 0 sur I intervalle. ssi

[z'(x)-z(x) ]exp(-x) = 0 car exp ne s 'annule pas

ssi [ z(x)exp(-x) ]' = 0 ssi

z(x)exp(-x) = cst ssi z(x) = cst exp(x) .

[anima]

je te donne la résolution correcte en trois lignes :
z' - z = 0 sur I intervalle. ssi

[z'(x)-z(x) ]exp(-x) = 0 car exp ne s 'annule pas

ssi [ z(x)exp(-x) ]' = 0 ssi

z(x)exp(-x) = cst ssi z(x) = cst exp(x) .

Merci. Je vois mon erreur :zen: