Sur les complexes....

[nico033]

jai une question sur une correction faite en classe

voici le sujet:

soit n appartient a N
Le nombre (1 + i racine de 3)^n est réel sssi:
n =1[3] (le [] veut dire modulo ) n = 2[3] n = 0[3] n =0[6].

correction faite en classe:

n=0[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+0 (pkoi???)
n=1[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+1
n=2[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+2
n=0[6] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=6k+0

on a calculer le module et largument du complexe (1 + i racine de 3)
est on a trouve r = 2 et teta = pi/3. (ça jai compris)

z = (1 + i racine de 3)^n = ( 2(1/2 + i.V3/2) )^n = (2^n).( cos(pi/3)+isin(pi/3) )^n = 2^n.( exp(i.pi/3) )^n = 2^n.exp(i.n.pi/3) (ca aussi jai compris)

z = (2^n).( cos(n.pi/3)+isin(n.pi/3) ) (jai compris aussi)

a partir de la je ne comprend plus:

z réel si sin(n.pi/3) = 0 (pourquoi on s'occupe de cette partie?)

z réel si n.pi/3 = k.pi (pkoi??)

z réel si n=3k (pkoi?)

z réel si n=0[3]

[annick]

Bonsoir,je vais essayer de répondre à tes questions :
1) n=0 modulo 3 veut dire que je serai revenu dans la même situation tous les 3 pas, ce qui peut s'écrire n=0+3k avec k qui varie (exemple k=0, n=0; k=1, n=3;k=3,n=6, ce qui fait bien un saut de 3 en 3) Même chose pour les autres.

2)z est de la forme a + ib, donc si b est nul, il n'y a plus de partie imaginaire et ton complexe est réel. Dans le cas présent, on veut que z soit réel, donc on cherche quand la partie imaginaire s'annule, soit sin(npi/3)=0. Il faut donc résoudre cette équation trigonométrique et cei se produit si sin(npi/3)=sin(kpi) car si on fait varier k, sin0=sin(pi)=sin(2pi) etc...=0
Donc npi/3=kpi soit n=3k
J'espère que cette explication t'aidera

[math*]

"Tous les trois pas" c'est pas très mathématique tout ça.
siginifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Je te donne un exemple :


Et une des propriétés des congruences est :
si alors a-b est un multiple de n, ou :

[rene38]

Bonjour

n=0[3] ( avec 3 barres au lieu de = ) signifie n=3k+0 (pkoi???)

C'est la définition d'une congruence
signifie : le reste de la division euclidienne de n par a est b donc
n=ak+b, k et b étant des entiers.

z = (2^n).( cos(n.pi/3)+isin(n.pi/3) ) z réel si sin(n.pi/3) = 0 (pourquoi on s'occupe de cette partie?) C'est la partie imaginaire de z : z est réel si sa partie imaginaire est nulle.

z réel si n.pi/3 = k.pi (pkoi??) 0 = sin(k pi)

z réel si n=3k (pkoi?) On multiplie les 2 membres par 3/pi

z réel si n=0[3] Retour à la définition d'une congruence.

[annick]

c'est peut-être pas très mathématique, mais la première chose c'est que l'élève comprenne le sens de ce qu'il fait. Ensuite on peut parler de la forme, mais je vois trop de réponses qui sont totalement abstraites et qui ne permettent pas de meilleure compréhension, donc retour à la case départ. Si un élève vient poser une question sur un forum, c'est qu'il cherche vraiment à comprendre, alors autant essayer une autre méthode que celle qu'il n'a pas comprise dans son cours.