DM sur l'aire d'un cercle.

[Alaindu63]

Bonsoir à toi aussi !!
Effectivement, j'ai oublié mes bonnes manières. Désolé. Bonsoir ^^

http://img522.imageshack.us/i/devoirmaison.png/

On considère un point M sur le diamètre [AB] d'un cercle. il détermine deux cercles de diamètre [AM] et [MB]. On pose AB = 4 et AM = x

Le dessin qui m'est donné est sur le lien ci dessus.

1_ Montrer que l'aire A(x) de la surface colorée est définie par
A(x) = /2 (-x² + 4x)

(;) = pi)

J'ai commencé par calculer l'aire des deux petits cercles
Air du cercle de diamètre AM = *(x/2)²
Air du cercle de diamètre MB = *[(4-x)/2]²
Ensuite, je les additionnes :
*(x/2)² + *[(4-x)/2]²
= {(x/2)²+[(4-x)/2]}
= {(x²/4) + [(16-2*4*x+x²)/4]}
= [(x²+16-8x-x²)/4]
= [(16-8x)/4]
= (4-2x)

Donc ensuite faut soustraire ce résultat à l'aire du cercle de diamètre AB, soit 4;) ( vu que AB = 4 ). Mais c'est là que ça "coince" car je ne trouve pas le résultat ésperé, soit A(x) = /2 (-x² + 4x).
Si vous pourriez m'aider, ce serait sympa ^^. Merci d'avance.

[Ericovitchi]

= {(x²/4) + [(16-2*4*x+x²)/4]} = [(x²+16-8x-x²)/4]

une petite erreur de signe [(x²+16-8x+x²)/4

tu vas tomber sur la formule qu'ils donnent

[oscar]

Bonsoir Somme aires des deux cercles A' (x) = pi/2 ( x² -4x+8)
Aire cercle de diamètre AB = 4pi
Aire hachurée= 4pi -A' Continue

[Alaindu63]

Je commence par vous remercier vous deux, Ericovitchi et oscar.
Enfaite, c'est l'erreur de signe qui m'avait tout fait "raté".
Donc ça fait :
;) [(x²+16-8x+x²)/4]
= ;) [(2x²+16-8x²)/4]
= ;) (1/2x² + 4 - 2x)
= ;)/2 (x² + 8 - 4x)

Donc après, on fait l'air du grand cercle de diamètre AB auquel on soustrait celui des deux calculé ci-dessus; soit :
4;) - ;)/2 (x²+8-4x)
=8;)/2 - ;)/2 (x²+8-4x)
= ;)/2 [8-(x²+8-4x)]
= ;)/2 (x²+4x)

Démonstration faite ! Merci beaucoup ^^.

Par contre, pour le 2_ on me demande : Determiner la position de M pour laquelle A(x) est maximale. Faut donc que j'utilise ce que je viens de trouver soit ;)/2 (x²+4x); mais je vois pas comment.
Si vous pourriez m'indiquer une piste ^^. Merci pour tout.

[Alaindu63]

Personne ne peut m'aider s'il vous plait :S ?

[Alaindu63]

A l'aide s'il vous plait :triste:

[Alaindu63]

:help: De l'aide s'il vous plait

[Ericovitchi]

l'aire c'est A(x) = ;)/2 (-x² + 4x) et pas ;)/2 (x²+4x)

Il faut trouver le maximum de ;)/2 (-x² + 4x)
le sommet d'une parabole tournée vers le bas ? aucune idée ?

[Alaindu63]

Ah oui, merci.
Donc quand ils demandent determiner, je le fais via le graphique de la calculatrice ?
Je trouve 2

[Ericovitchi]

non le sommet d'un parabole d'équation ax²+bx+c est atteint pour x=-b/2a C'est plus correct que de regarder le dessin sur une calculatrice

[Alaindu63]

Ah d'accord, merci pour tout ^^

[Alaindu63]

Bonsoir;

3_ Existe t'il une position de M pour laquelle A(x) soit strictement supérieur à la somme des aires des deux disques de diamètre [AM] et [MB] ?

J'ai fait : On sait que la somme des aires des deux disques de diamètre [AM] et [MB] est pi/2 (x²+8-4x) et A(x) = pi/2 (-x²+4x)
Donc pi/2 (-x²+4x) > pi/2 (x²+8-4x) ?

pi/2 (-x²+4x) - pi/2 (x²+8-4x)
pi/2 [(-x²+4x) - (x²+8-4x)]
pi/2 (-x²+4x-x²-8+4x)
pi/2 (-2x²+8x-8)
-pi (x²-4x+4)
-pi (x²-2*x*2+2²)
-pi (x-2)² < 0 car -pi < 0
et (x-2)² > 0
Donc pi/2 (-x²+4x) < pi/2 (x²+8-4x)

Il n'existe pas de position M pour laquelle A(x) soit strictement supérieure à la somme des aires des deux disques.

Est-ce que c'est correct s'il vous plait ?

[Alaindu63]

4_ Déterminer les positions de M pour lesquelles A(x) soit inférieur à la moitiée de l'aire des deux disques de diamètre [AM] et [MB].

Donc pi/2 (-x²+4x) < 1/2 [pi/2 (x²+8-4x)]

Je multiplie par 2 les deux membres

pi(-x²+4x) < pi/2(x²+8-4x)
2pi/2(-x²+4x) - pi/2(x²+8-4x) < 0
pi/2 (2(-x²+4x) - (x²+8-4x))
pi/2 (-2x²+8x-x²-8+4x)
pi/2 (-3x²+12x-8)

Discriminant = 12² -4*(-3)*(-8)
= 144 - 96
= 48

x'= (-12 + racine de 48) / -6
x''= (-12 - racine de 48) / -6

Là je fais un tableau de signe avec entre les deux racines +
et à l'exterieur -

Donc pour que A(x) soit inférieur à la moitié de l'aire des deux disques, il faut que M soit situés entre ]0;x'[ u ]x'';4[

Est-ce correct également ?

[Alaindu63]

Merci d'avance

[Alaindu63]

Merci à l'avance

[Alaindu63]

Merci à l'avance :we:

[ace59]

salut
Personnellement je trouve la même chose que toi donc je pense que c'est correct.

[Barbaraa]

j'ai le même devoir à faire et je voudrais savoir qu'est ce qu'il faut faire pour la question 2, je ne comprends pas du tout... Merci d'avance pour votre aide!!!