Sujet de DS TS EXP

[mydoudouitsk]

bonjour juste avant les vacances notre professeur de mathématique nous a donné un DS sur la fonction exponentielle.
Seulement le corrigé n'a pas été donné à la fin du cours, je me tourne donc vers vous pour que vous puissiez me donner des directions à prendre afin que je puisse trouver les solutions.

Merci d'avance pour votre aide.

PS: mes réponses sont en bleu.

Exercice 1: Vrai ou Faux, justifier.

A- Soit f une fonction définie sur R par f(x)= (x-1)exp(2x)

1- f'(x)= x.exp(2x) --> Faux car f'(x)= 2x.exp(2x) - exp(2x)
2-lim "de x qui tend vers plus l'infini" f(x)= "moins l'infini" --> faux car
lim exp(2x) = 0 donc lim f(x) =0
3- l'équation f(x)=1 admet une unique solution dans R --> ?

B- si x > ou = -2 alors exp(x) > ou égal 1/exp (2) --> vrai
car exp(-2) = 1/exp(2) donc si x>-2 alors exp(x) > 1/exp(2)
donc si x> ou = -2 alors exp(x) > ou = 1/exp(2).

C- l'équation exp(2x) + 2exp(x)-3=0 admet deux solutions --> faux
car exp (t) > 0

D- les courbes représentatives des fonctions x-> 2exp(x/2)-1 et x->exp(x) ont la même tangente au point A(0;1) --> ?

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= exp(x)-x-4

1- a) Donner la limite de f en moins l'infini
--> posons t= -x
lim "x-> - l'inf" f(x) = lim "t-> + l'inf" exp(-t)+t-4
= lim "t-> + l'inf" 1/exp (t) +t-4= + l'inf

b) en factorisant convenablement f(x) déterminer la limite de f en + l'inf --> ?
c) Montrer que Cf admet une asymptote que l'on notera D --> ?

2- Etudiez les variations de la fonction f. --> f'(x)= exp(x) - 1
donc sur R- signe de f'(x): - et sur R+ signe de f'(x): +
Le minimum de la fonction est en x=0 pour f(0)= -3

3- Cf admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=-x? --> ?

Si vous pouviez me dire si mes réponses sont co mplètes ou ce qu'il manque et aussi m'indiquer comment trouver des solutions aux ?

Merci d'avance.

[Ericovitchi]

Pour le A2) erreur : exp(2x) tends vers l'infini quand x-> l'infini

La justification du C : (--> faux car exp (t) > 0 ) est un peu légère car exp(2x) + 2exp(x)-3=0 est un polynôme en e^x qui a un discriminant positif donc 2 racines 1 et -3
on doit enlever la racine -3 car e^x=-3 n'a pas de solution, c'es pour ça qu'il ne reste que la solution x=0

D- les courbes représentatives des fonctions x-> 2exp(x/2)-1 et x->exp(x) ont la même tangente au point A(0;1) --> ?

oui c'est la valeur de la dérivée en zéro. Elles valent toutes les deux 1

Et dans le 2) qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ?

[mydoudouitsk]

je ne comprends pas ta réponse pour l'exercice 1 A-2 et le D
Tu pourrais développer un peu plus?

Sinon pour l'exercice 2 je n'ai pas su faire le 1-b et le 1-c ainsi que le 3

[Ericovitchi]

La limite de (x-1)exp(2x) quand x tends vers + l'infini ?
l'exponentielle tends vers + l'infini, (x-1) aussi donc le produit aussi.

Pour le D, on te demande
les courbes représentatives des fonctions x-> 2exp(x/2)-1 et x->exp(x) ont la même tangente au point A(0;1) --> ?

La pente de la tangente en un point d'une courbe est la valeur de sa dérivée en ce point. Donc pour que les deux courbes aient même tangente, il faut qu'elles aient même valeur de dérivée.
la dérivée de 2exp(x/2)-1 c'est exp(x/2), en 0 ça vaut 1
la dérivée de exp(x) c'est exp(x) , en 0 ça vaut 1
donc elles sont bien égales et les deux courbes ont même tangente en (0,1) (qui est bien sur les deux courbes)

Pour le 2)
exp(x)-x-4 = exp(x)(1-xexp(-x)-4exp(-x))
tous les termes qui ont des exp(-x) tendent vers zéro donc le second facteur tends vers 1 et donc le produit tends vers l'infini

les variations de la fonction, c'est assez façile

3- Cf admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=-x?
il suffit de regarder si la dérivée peut prendre la valeur -1
(puisque encore une fois, la pente de la tangente c'est la valeur de la dérivée)

[mydoudouitsk]

D'accord je comprends.

Pour l'exercice 1 je me suis trompé en écrivant l'énoncé de la question 2.
c'est: lim "x vers moins l'inf" f(x) = moins l'inf ? --> j'ai dis donc que non. car = 0(voir le premier message) est ce qu'alors mon raisonnement serait acceptable?

et dans l'exercice 2. comment ferriez vous pour montrer que Cf admet une asymptote? aucune fonction affine n'est donnée et je ne vois pas de limite en x qui tend vers un l.

Et pour la 3 il faut que f'(x) = -1 non?
si je calcul cela est impossible car exp(x) doit être différent de 0. donc la réponse est non.
Est-ce bien ça?

[Ericovitchi]

pour montrer que f(x)= exp(x)-x-4 admet une asymptote (pour x tendant vers - l'infini donc et c'est une asymptote oblique) il suffit de montrer que la distance entre la courbe et une droite tends vers zéro.

Dans le cas présent on devine la droite y=-x-4

et la limite de f(x) +x+ 4 = e^x tends bien vers zéro quand x tends vers - l'infini

pour la dérivé qui vaut -1 ta réponse est bien la bonne.

[mydoudouitsk]

Et le pire c'est que c'était simple. :wrong:

Merci beaucoup pour ces réponses. Et merci beaucoup de m'avoir aider!

Passez une bonne après-midi! :lol3: