Suites terminale scientifique

[celiine11]

Bonjour, voici un exercice que j'essaie de résoudre :
n désigne un nombre entier naturel non nul.
1. avec des triangles
Sur l'intervalle [0 ; 1], on construit côte à côte des triangles isocèles dont la base mesure 1 /n^2 et la hauteur 1/n
On note Sn la somme des aires de ces triangles.
a) Montrer que, pour tout n superieur a 1, Sn est superieur stricte a 0.
b) Déterminer la limite de la suite (Sn).
Au vu de la question a), ce résultat est-il surprenant ?
2. avec des disques
Sur l'intervalle [0 ; 1], on pose côte à côte des disques de diamètre 1 /n .
On note S'n (resp. Pn) la somme des aires (resp. des péri- mètres) de ces disques.
a) Déterminer la limite de la suite (S' n).
b) Déterminer l’expression de Pn en fonction de n. Étudier la limite de la suite (Pn).

J'ai commence a regarde pour les triangles en me disant que l'aire d'un triangle était :
( base * hauteur ) / 2 et donc que c'était égale a 1/2n^3
et que le nombres de triangles étaient égales a 1/1/n^2 soient n^2 donc pour n = 3 on a 9 triangles
et donc la somme des aires des triangles serait (1/2n^3)*n^2 soit 1/2n !
Mais je ne suis pas sure du tout de moi, est-ce 1/2n la suite ?
Et pour les disques je n'ai pas encore commence a regarde, si vous avez des pistes

[lyceen95]

On constriut des triangles... Toi, tu dis qu'on a n² triangles. Donc on aurait d'abord 1 triangle puis 4, puis 9, puis 16 ?

J'avais l'impression qu'on contruisaitt les triangles l'un après l'autre, d'abord 1 , puis un 2ème, puis un 3ème. Et pas 3 d'un coup, ni 5 d'un coup.

Avant de te lancer dans les calculs, décris précisément ce qu'on fait.

[pascal16]

petit truc sur le constructions fractales : la surface d'une figue peut être finie, et son périmètre infini.
je pense que l'exo va aller dans ce sens.

[LB2]

oui enfin non.
le périmètre de la figure que tu construis est toujours fini.
C'est sa limite qui est infinie

[celiine11]

On constriut des triangles... Toi, tu dis qu'on a n² triangles. Donc on aurait d'abord 1 triangle puis 4, puis 9, puis 16 ?

J'avais l'impression qu'on contruisaitt les triangles l'un après l'autre, d'abord 1 , puis un 2ème, puis un 3ème. Et pas 3 d'un coup, ni 5 d'un coup.

Avant de te lancer dans les calculs, décris précisément ce qu'on fait.

Je suis désolée je n'ai pas réussi a insérer l'image de l'exercice. Par conséquent, voici le lien avec l'image de l'exercice si cela peut etre plus claire.
https://i.postimg.cc/Zn2JtDN8/exo-triangle.png
On ne construit pas les triangles un par un.

[LB2]

@celiine11

ok pour la figure.
Tu as trouvé l'expression de Sn, Sn = 1/(2n) est la bonne réponse.

Cela peut paraître bizarre que Sn -> vers 0 quand n -> l'infini, mais en fait, pour n grand, les triangles seront plus rapidement étroits qu'augmente leur nombre : on aura donc une sorte de peigne, d'aire de plus en plus petite mais avec de plus en plus de dents. C'est donc parfaitement logique (avec les valeurs que l'on a dans cet exo).

Bien sûr si l'on a n triangles de base 1/n et de hauteur 1/n chacun, alors la somme des aires est constante, mais ce n'est pas le même exo...

Par ailleurs, les questions de l'exercice sont maladroites, il faudrait dans chaque cas demander :
1) Expression de la suite concernée
2) Limite éventuelle de la suite
3) Interprétation

[celiine11]

@celiine11

ok pour la figure.
Tu as trouvé l'expression de Sn, Sn = 1/(2n) est la bonne réponse.

Cela peut paraître bizarre que Sn -> vers 0 quand n -> l'infini, mais en fait, pour n grand, les triangles seront plus rapidement étroits qu'augmente leur nombre : on aura donc une sorte de peigne, d'aire de plus en plus petite mais avec de plus en plus de dents. C'est donc parfaitement logique (avec les valeurs que l'on a dans cet exo).

Bien sûr si l'on a n triangles de base 1/n et de hauteur 1/n chacun, alors la somme des aires est constante, mais ce n'est pas le même exo...

Je suis d'accord avec toi!
Pour le cercle, j'ai trouvé que le nombres de cercles est égal à 1/(1/n) soit n
Par conséquent : La somme des aires des cercles est : (π/4n) du fait de multiplier par n l'aire d'un cercle qui est (π/4n²) et donc cela tend également vers 0
Et pour le périmètre j'ai trouvé en revanche que la somme était égale a π vu que l'on a n * π/n
Et donc le périmètre serait constant.