Suites et récurrence

[algo1308]

Bonjour, dans mon exercice sur les suites, j'ai un algorithme. Il m'est demandé : "que fait cet algorithme" mais je ne sais pas que faut-il dire. J'ai réussi à le mettre dans ma calculatrice seulement je ne parvient pas à dire ce qu'il permet de faire... Si quelqu'un pouvait m'aider svp.

U0= -4 un+1=un+un²+1
1) Montrer que la suite (un) est strictement croissante. Question réussie en démontrant par récurrence que Un+1>Un.

2) On considère l'algorithme suivant :
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Saisir la variable M
Affecter a u la valeur -4
Traitement : Tant que u <= M faire
U prend la valeur de u+u²+1
n prend la valeur n+1
Fin du tant que
Sortie : Afficher n

Que fait cet algorithme ? C'est la le problème...

Merci pour votre aide

[Nightmare]

Salut,

essaye l'algorithme à la main en prenant des valeurs arbitraire de M jusqu'à ce que tu vois un peu mieux ce qu'il te donne.

Concernant la question 1), la récurrence est inutile ici. Si tu exprimes U(n+1)-U(n), tu remarques immédiatement que c'est positif.

[algo1308]

J'ai essayé pour m=100, n=2 et m=1000, n=3 car on me le demande dans la question 3 mais je ne sais vraiment pas expliquer ce qu'il fait.
Pour la premiere, en faisant un+1- un je ne peut pas savoir car je ne sais pas que vaut un. J'obtient un+1-un= un^2+1

[Nightmare]

J'ai essayé pour m=100, n=2 et m=1000, n=3 car on me le demande dans la question 3 mais je ne sais vraiment pas expliquer ce qu'il fait.

D'accord, et pour m=100, il représente quoi ce n=2? Qu'est-ce qui vaut 2?

Pour la premiere, en faisant un+1- un je ne peut pas savoir car je ne sais pas que vaut un. J'obtient un+1-un= un^2+1

Oui, et même sans savoir ce que vaut u(n), ne peux-tu rien dire sur le signe de (un)²+1 ?

[algo1308]

Ah oui un^2+1 est strictement supérieur a 0 car le carré est posititif :)
Donc un est strictement croissant

Vraiment je ne voi pas a quoi correspond le n puisque il n'apparai meme pas dans u+u^2+1. Je n'arrive pas a m'imaginer a quoi cela correspond meme apres avoir reflechi de nombreuses heures. Pourriez vous me donner un petit indice pour que je puisse comprendre svp ?

[Nightmare]

A quel moment intervient-il n dans ton algorithme? Quand est-ce qu'il bouge et pourquoi? Quand est-ce qu'il arrête de bouger et pourquoi? Qu'est-ce que ça signifie?

[algo1308]

N intervient dans la boucle tant que. On lui ajoute 1 lorsque la condition (u qui est egale a -4<= m) est verifiee. N ne bouge plus quand la condition n'est plus verifiee c'est a dire quand m est inferieur ou a -4. je ne comprend pas non plus pourquoi quand m=182, n=2 et quand m=183, n=3. Quel est le rapport ? Par contre je ne saurais pas dire ce que cela signifie :/

[algo1308]

Pourquoi la valeur de n change entre ces deux valeurs de m ?

[Nightmare]

. On lui ajoute 1 lorsque la condition (u qui est egale a -4<= m) est verifiee. /

Attention, u n'est pas égal à -4. Il l'est au début, mais ensuite on réaffecte à u la valeur u²+u+1 jusqu'à ce qu'on dépasse m.

Par exemple, on prend m=200.

u=-4
u²+u+1=13.
n=0
On a toujours pas dépassé 200, donc on continue avec u=13 :

u=13
u²+u+1=183.
n=1
On a toujours pas dépassé 200, on continu :

u=183
u²+u+1 = 33 673.
n=2

On a dépassé 200, c'est terminé, le programme va nous afficher n=2.

Ici, tu vois que n augmente à chaque fois qu'on réitère le processus. Autrement dit, ici n n'est autre qu'un "compteur de tour" : Il compte le nombre de fois qu'on a bouclé dans l'algorithme, jusqu'à ce que la condition (que u doit être inférieur à M) est vérifiée.

Maintenant, quel est le rapport entre l'algorithme et la suite un de la première question?

[algo1308]

D'accord merci mais j'ai pas compris encore un truc avant de vous repondre. Pourquoi vous dites " on a pas depasser 200 alots on continue avec u=13". Pourquoi u=13 et pas u= 2 par exemple ou u = 9 ??

[Nightmare]

Regarde ce qui est dit dans ton algorithme :

Traitement : Tant que u <= M faire
u prend la valeur de u²+u+1

Tant qu'on a pas dépassé 200, on réaffecte à u la valeur u²+u+1 et caetera.

[algo1308]

Ahhhh je viens de voir pardon. C'est le resultat de u+u^2+1.

[algo1308]

Le rapport, c'est le un+un^2+1 qui equivaut au u+u^2+1.

[Nightmare]

Et plus exactement?

Le 33 673 que j'ai trouvé dans l'application de mon algorithme, ça correspond à quoi vis à vis de un par exemple?

[algo1308]

Ça correspond a u(183)

[Nightmare]

C'est tout à fait ça !

[algo1308]

Au rang 183 de la suite (un)

[Nightmare]

Ah non, par contre ton dernier message ne va pas. 33 673, ce n'est pas u(183) mais simplement u(3) !

[algo1308]

Donc je dis : cet algorithme permet de determiner le premier rang (n) pour lequel la suite (un) est strictement supérieur à la variable M ?

[Nightmare]

Oui, a condition que tu en sois bien persuadé :lol3: