Suites géométrique, récurrence...

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
nanar
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Suites géométrique, récurrence...

par nanar » 19 Sep 2012, 19:40

Bonjour, j'ai cet exercice qui me pose problème et je suis notamment incapable de trouver l'algorithme à entrer et je n'arriverai surement même pas à le taper sur la calculette :

On considère la suite (Un) n (appartient) N définie par U0=1 et, pour tout n (appartenant à) N,
Un+1 = (1/3) Un + n -2.

1. Calculer U1, U2 et U3.

2. Ecrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quel rang on a Un>100.

3.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n>ou=4, Un>ou=0.

b) En déduire que pour tout entier naturel n>ou=5, Un>ou=(-3).

c) En déduire la limite de la suite (Un) n (appartient à) N.

4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (Vn) n (appartient à) N par :
Vn = -2Un + 3n - (21/2).

a) Démontrer que la suite (Vn) n (appartient à) N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b) Exprimer Vn en fonction de n.

c) En déduire que pour tout entier naturel n :
Un = (25/4) * (1/3)^n + (3/2)n - 21/4.

5.
a) Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel n par Sn = "sigma"*Vk. (un petit "n" sur "sigma"
Déterminer l'expression de Sn en fonction de n. et un "k=0" dessous)

b) Soit la somme Tn définie pour tout entier naturel n par Tn = "sigma"*Uk. (même chose que la
Déterminer l'expression de Tn en fonction de n. ligne au dessus)




1. J'ai trouvé :
U1 = -(2/3)
U2 = -(2/9)
U3 = 25/27

2. Ici je sèche totalement. Je ne suis pas spécialement à l'aise avec les algorithme mais là je planche dessus depuis un moment et j'arrive pas à le faire. Surtout je ne saurais même pas sur quelle touche appuyer par la suite sur la calculette.

3. a) Ici, même chose j'ai vraiment essayé de m'en sortir mais je dois démontrer que pour tout entier naturel n>ou=4, Un>ou=0 .... J'ai essayé tant bien que mal d'appliquer un raisonnement par récurrence mais je n'ai fais jusqu'à maintenant que des exos ou il fallait démontrer que pour tout entier naturel n, UnCe qui me pose problème c'est ce n>ou=4...
Pour b) et c) je dois d'abord faire la a)...

4. a) Ici, j'ai également essayé de démontrer que (Vn) est une SG mais je reste bloqué à une étape :
Vn+1 = (-Un+1)/2 + 3/(n+1) = (-(1/3)Un+n-2) / 2 + 3/(n+1)

et là c'est le blocage...
Pour la b) et la c) je n'y arrive pas mais je dois surement d'abord réussir la a)...

5. Ici je n'ai pas encore fais ce type d'exos alors je rame...

Je vous serais très reconnaissant si vous m'apportiez votre aide.

Merci à vous.



nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 20:23


nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 20:43

Ca m'a pris du temps de taper ces exos. S'il vous plait, aidez-moi ....
Merci

nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 21:01

Je pourrais avoir une réponse ? SVP

nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 21:36

Je dois rendre mon DM pour vendredi, je m'y suis pris 3 jours avant, j'ai essayé d'avancer mais là je suis bloqué.je n'ai pas de réponse. Je sais que tout le monde à une vie mais il y a des topic qui bougent et le mien est comme mort. Après ça je vais encore me faire virer si j'ouvre un nouveau topic pour le même exo .... Bref je serais très reconnaissant d'avoir quelqu'un pour m'aider parce que j'ai quand même pris la peine de recopier TOUt le sujet et de réflechire avant de poster.

Merci à vous.

Luc
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par Luc » 19 Sep 2012, 22:04

Bonjour,

je ne suis pas capable de te répondre sur l'algo mais pour les autres questions :
-3)a) c'est effectivement un raisonnement par récurrence. Quelle est l'hypothèse de récurrence? Comment initialises-tu? Comment tu montres l'hérédité?
b) tu es sûr de l'énoncé? ça me parait débile puisque le résultat à montrer est moins fort que ce que l'on sait déjà en 3)a)
c) utilise le critère de comparaison en l'infini. u(n) est plus grand que quelque chose qui tend vers l'infini en l'infini.
4)a) il ne te reste plus qu'à remplacer Un en fonction de Vn en utilisant la définition de Vn. Attention aux erreurs de calculs possibles.
b)c) une fois que tu auras trouvé la raison et le premier terme de Vn ça sera facile.
5) tu n'as pas vu en cours la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q?

nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 22:39

Pour la 3) a) je suis donc bloqué et voila ce que j'ai fais :


3.
a) U1= -(2/3) et Un+1= (1/3)(Un) + n - 2.
Montrons par récurrence que : pour tout n >= 4, Un >= 0.

Initialisation :
Pour n=0, U0>=0 car U0=1.

Hérédité :
On suppose qu'à un certain rang n>=4, Un>=0

d'où (1/3)(Un) >= 1/3

mais là ça ne marche plus et j'ai des trucs pas bons...
J'ai déjà fais ça mais c'était démontrer que pour tout n et non n>= à quelque chose...
Je ne sais pas donc.

Merci d'avance.

Luc
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par Luc » 19 Sep 2012, 22:44

Tu as plusieurs problèmes de logique :
1) pourquoi initialises-tu à n=0 alors qu'on te demande de montrer la propriété pour n>=4?
2) pour toi, si x est positif, 1/3*x >=1/3?

nanar
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par nanar » 19 Sep 2012, 23:03

Bon alors :

a) Initialisation :
Pour n=4, U4>=0 car U4=(187/81).

Hérédité :
On suppose que à un certain rang n>=4, Un>= 0.

d'où .... je bloque .... pourrais m'aider ? Je suis désolé mais j'essaye vraiment :(.

Merci à toi.

nanar
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par nanar » 20 Sep 2012, 01:06

Super nickel, j'ai réussi. Ensuite la méthode est la meme pour la 3.b) ?
Je me suis trompé dans l'énoncé...
(c'est en déduire que pour tout entier naturel n>=5, Un>=n-3)

J'arrive donc par la même méthode à :
.....
d'où (1/3)(Un) + n - 2 >= 3 + (1/3)(Un) >= n-3.

Soit Un+1 >=0

Donc l'inégalité ...etc........ voila c'est ça ?

Ensuite pour la 3.c) :
Je sais que je dois utiliser la comparaison mais je n'ai pas du tout la méthode et la rédac nécessaire pour le faire alors pourrais tu me le faire ?

Merci beaucoup !

 

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