Suite recurrente

[dias65]

bonjour,
j'ai un problème pour la question 2 de cette exercice:
U0 = 1
pr tt entier naturel n U(n+1)= (1/5) ((Un)²+1)
1) Montrer que 0<=Un<=1
2) Montrer que Un est décroissante
Merci

[Sylviel]

tu as Un+1 = f(Un), tu sais que Un est élément de [0,1], ce que tu cherches donc à savoir c'est si f(x) > x ou si x>f(x) sur ce segment... pour cela tu peux étudier le signe de ...

[dias65]

et non ça donne pas de solution l'étude de signe de f(x)-x

[sad13]

T'es sûr? Poses g(x)=f(x)-x et fais en l'étude.

Tu as bien rédigé la 1)?

[el niala]

T'es sûr? Poses g(x)=f(x)-x et fais en l'étude.

Tu as bien rédigé la 1)?

juste en passant, g(0)= ?

à mon humble avis, l'encadrement [0,1] est trop large pour conclure à la décroissance de {Un}

[dias65]

oui c trop large

[nodjim]

bonjour,
j'ai un problème pour la question 2 de cette exercice:
U0 = 1
pr tt entier naturel n U(n+1)= (1/5) ((Un)²+1)
1) Montrer que 0<=Un<=1
2) Montrer que Un est décroissante
Merci

Ce que je vois c'est que:
U²<1 si U<1 et même que.....
et comme U2<1, alors.....

[el niala]

Ce que je vois c'est que:
U²<1 si U<1 et même que.....
et comme U2<1, alors.....

certes, mais ça ne montre pas la monotonie de la suite, car Un<1 pourrait vouloir dire (par exemple) que et dans ce cas, dommage,

il y a bien une méthode infaillible, celle de calculer la limite et de montrer ensuite la décroissance, mais c'est un peu... de la triche !

l'équation admet une solution L sur [0,1]

et alors, on montre que sur [L,1] la suite est décroissante

[nodjim]

Certes mais cette équation ne se pose que quand on sait que la limite...

[el niala]

non, non, le raisonnement serait alors le suivant :

1) si la suite {Un} converge vers une limite, alors cette limite est égale à L que l'on calcule

2) on montre par récurrence que pour tout n Un in [L,1]

3) on montre que {Un} décroît sur [L,1]

4) suite décroissante minorée donc convergente, et comme la limite est unique...