Suite récurrente

[Nightmare]

Salut à tous,

je vous propose d'étudier la convergence de la suite définie par la récurrence

Bonne réflexion.
:happy3:

[Anonyme]

Merci Nightmare.

Soit la suite tel que




On montre que (v_n) est décroissante/croissante et minorée/majoree par 0 (ca dépend si l'on est dans [0,1[ ou ]-1,0]) , elle converge donc vers un réel qui vérifie donc

On reviens a notre suite . A partir d'un certain rang assez grand N on aura et comme appartient a ]-1,1[ on retrouve la suite qui elle converge vers 0.

[Nightmare]

Salut Qmath,

on a mais on ne peut pas dire que u(n+1)=sin(u(n)). Ton raisonnement n'est malheureusement pas valide.

[Anonyme]

Salut Qmath,

on a mais on ne peut pas dire que u(n+1)=sin(u(n)). Ton raisonnement n'est malheureusement pas valide.

Peux tu m'expliquer/ me démontrer pourquoi on a pas u(n+1)=sin(u(n)) ?

J'avais le pressentiment que cela était faux mais je ne savais pas pourquoi ...

[Nightmare]

Pourquoi aurait-on u(n+1)=sin(u(n)) ? Ils sont très proches, puisque le deuxième terme tend vers 0, mais ce dernier oscille autour de 0,c 'est ce qui rend l'étude de la suite un peu délicate.

[Anonyme]

C'est comme si on avait avec on aura alors a=b non?

[benekire2]

Salut,

Ça s'annonce tendu comme toujours ... :id:

Je vais y réfléchir :we:

[benekire2]

Bon alors , déjà étudier la fonction associée a u_n+1 c'est mort , en plus j'ai pas trop l'impression que u soit tout le temps décroissante pour toutes les valeurs u0 mais je conjecture quand même qu'elle converge vers 0.

Je ne vois rien pour l'instant. Quelqu'un sait par où partir ?

[Nightmare]

Je n'ai pas de preuve "simple" (en terme d'outils) en tête. On s'en sort en examinant l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite.

[benekire2]

OK, et tu pense qu'une preuve lycée existe ? Au fait elle converge bien vers 0. ...

[Nightmare]

Avec des outils de lycée je ne sais pas, étant donné que la suite n'est pas monotone, on va avoir du mal à prouver qu'elle converge par les théorèmes dont on dispose au lycée.

[benekire2]

Et sinon, on examine comment l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite ? Enfin je sais ce qu'est une VA, mais je connais rien dessus .. si ça utilise des trucs trop poussés, laisse tombé :id:

[windows7]

salut

et si on posait vn=|un+1-un|

vn ne serait elle pas decroissante apartir d'un certain rang ? bornée ? convergente quoi ?

ca limite est 0 ( vn < un/n )

de la un+1 ~ un

d'ou un+1 ~sin(un+1) + sin(un+1)/n

dou sin(un)/un-> 1

et dans ]0,pi[ soit un-> 0 soit un->pi or biensur apartir d'un certaint rang un< pi/2 par exemple

donc un-> 0

ya un truc qui cloch ?

[Nightmare]

Pourquoi u(n+1) équivalent à u(n)?

[windows7]

vn-> 0

donc |un+1-un| -> 0 donc un+1-un -> 0
donc un+1/un-1 ->0
donc un+1/un-> 1

Oo jdis une connerie ?

[Nightmare]

Si je prends u(n)= 1/n si n pair , 1/n² si n impair , u(n+1)-u(n) tend vers 0 et u(n+1)/u(n) n'a pas de limite !

[Nightmare]

Et sinon, on examine comment l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite ? Enfin je sais ce qu'est une VA, mais je connais rien dessus .. si ça utilise des trucs trop poussés, laisse tombé :id:

Peux-tu montrer que si (un) a des valeurs d'adhérences, elles sont comprises dans [0;1] ? Essaye de voir ce que tu peux en déduire par la suite.

[windows7]

oops

tfacon jmetais loupé la je reprend

(un+1/un -1)*un -> 0

soit un -> 0

soit (un+1/un-1) -> 0 => un+1 ~ un


la nous somme d'accord ?


et pour le reste je pense que c'etait correct un+1~un => un-> 0

cqfd ?

[Nightmare]

Ben mon contre exemple tient toujours non?

Cela dit, je vois pas pourquoi soit u(n) tendrait vers 0, soit u(n+1)/u(n-1). Une peut être finie l'autre infinie et le produit tendant vers 0 nop?

[windows7]

0o

faut multiplier infini par quoi pour avoir 0 ?